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【標準】三角関数の定積分

🕒 2018/11/28 🔄 2023/05/01

ここでは、三角関数を含んだ定積分のうち、少し変形が必要なものを見ていきます。

📘 目次

三角関数の定積分その１

例題1

次の定積分を求めなさい。\[ \int_0^{\pi} \cos^2 x dx \]

定積分を求めるときには、まずは不定積分を求めるのが基本です。なので、不定積分の計算で使ったテクニックは、定積分の計算でも使うことがあります。

この定積分のように、被積分関数が $\cos^2 x$ となっている場合は、2乗の部分の次数を下げれないかを考えるのでした。そこで、【標準】三角関数の不定積分で見たように、半角の公式を使えばいいのでしたね。

【標準】半角の公式により、\[ \cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2} \]が成り立つことから、 $\alpha$ を $2x$ で置き換えると\[ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2} \]となることがわかります。よって、微分して右辺の形になる関数を考えればいいですね。

微分して $\dfrac{1}{2}$ になるものは、 $\dfrac{x}{2}$ です（積分定数は無視します）。また、微分して $\dfrac{\cos 2x}{2}$ となるものは、 $\dfrac{\sin 2x}{4}$ ですね。 $\sin 2x$ を微分すれば $2\cos 2x$ となることから、 $\sin 2x$ を $2$ で割れば、微分によって元に戻ります。

以上から、次のように計算することができます。
\begin{eqnarray} & & \int_0^{\pi} \cos^2 x dx \\[5pt] &=& \int_0^{\pi} \frac{1+\cos 2x}{2} dx \\[5pt] &=& \Big[ \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} \Big]_0^{\pi} \\[5pt] &=& \frac{\pi}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。

三角関数の定積分その２

例題2

次の定積分を求めなさい。\[ \int_0^{\frac{\pi}{2} } \sin 3x\sin 2x dx \]

この定積分のように、被積分関数が三角関数の積になっている場合は、和や差に分解できたほうが計算が簡単になります。そこで、【標準】三角関数の不定積分で見たように、積を和に変換する式を使いましょう。

【標準】三角関数の積から和への公式で見たように、\[ \sin \alpha\sin \beta=-\frac{1}{2} \left\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\} \]となることから、\[ \sin 3x\sin 2x=-\frac{1}{2} \left\{\cos(3x+2x)-\cos(3x-2x)\right\} \]となります。

微分して $\cos 5x$ になるものは、 $\dfrac{\sin 5x}{5}$ です。よって、定積分は、次のように計算することができます。
\begin{eqnarray} & & \int_0^{\frac{\pi}{2} } \sin 3x\sin 2x dx \\[5pt] &=& \int_0^{\frac{\pi}{2} } -\frac{1}{2}(\cos 5x-\cos x) dx \\[5pt] &=& -\frac{1}{2} \Big[ \frac{\sin 5x}{5}-\sin x \Big]_0^{\frac{\pi}{2} } \\[5pt] &=& -\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{5}-1\right) \\[5pt] &=& \frac{2}{5} \\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。