【応用】チェバの定理とメネラウスの定理

🕒 2022/09/25 🔄 2023/05/01

ここでは、チェバの定理やメネラウスの定理の少し見た目が違うバージョンを見ていきます。

📘 目次

少し見た目が違うチェバの定理

【基本】チェバの定理でも見た通り、チェバの定理とは、下のような図で $\dfrac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = 1$ が成り立つという内容でした。

これは、「点 $\mathrm{O}$ をとって、直線 $\mathrm{AO,BO,CO}$ を引いて、辺との交点 $\mathrm{P,Q,R}$ をとる」と考えてもいいですし、「辺上に点 $\mathrm{P,Q,R}$ をとって、向かいにある頂点と結ぶと1点で交わった」と考えてもいいです。どちらで考えてもいいのですが、上の図では、$\mathrm{O}$ は三角形の内部の点だと仮定していました。

実は、点 $\mathrm{O}$ は三角形の外にあってもかまいません。辺やその延長線上にない場合、同じように、頂点 $\mathrm{A, B, C}$ に対して、点 $\mathrm{O}$ とその頂点を通る直線を引き、対辺（もしくはその延長線）と交わる点を $\mathrm{P, Q, R}$ とすると、 $\dfrac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = 1$ が成り立ちます。

3直線の交点が三角形の内部にあるときと比べて、少し図がわかりにくいですね。2つ目の例は、どちらも $\mathrm{C}$ 側の延長線上にある場合で、1つ目の例はどちらも $\mathrm{C}$ 側ではない延長線上にある場合となっています。これらの場合も含めて、チェバの定理ということがあります。

証明は、交点が三角形の内部にあるときと同じように、面積比を使って示せます。

内部にあることを限定しないバージョンのチェバの定理は、次のような内容になります。

チェバの定理

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺上にもその延長線上にもない点 $\mathrm{O}$ をとる。直線 $\mathrm{AO}$ と $\mathrm{BC}$、$\mathrm{BO}$ と $\mathrm{CA}$、$\mathrm{CO}$ と $\mathrm{AB}$ の交点をそれぞれ $\mathrm{P, Q, R}$ とする。
このとき、次の等式が成り立つ。\[ \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}= 1 \]

ちなみに、点 $\mathrm{O}$ が辺やその延長線の上にあるときは、 $\dfrac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}$ に出てくるどれかの線分が $0$ になってしまいます。

例えば、辺 $\mathrm{AB}$ 上に点 $\mathrm{O}$ があるとすると、直線 $\mathrm{AO}$, $\mathrm{BC}$ の交点 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{B}$ と一致してしまい、 $\mathrm{BP}$ の長さが $0$ となってしまいます。

そのため、点 $\mathrm{O}$ が辺やその延長線の上にあるケースは除外しています。

少し見た目が違うメネラウスの定理

【基本】メネラウスの定理でも見た通り、メネラウスの定理とは、下のような図で $\dfrac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} = 1$ が成り立つという内容でした。