【応用】おうぎ形と正方形の面積

ここでは、おうぎ形と正方形が組み合わさった、面積を求める問題を見ていきます。ここで見る問題は、将来、もっと簡単に解く方法を学びますが、ここでは、今までに学んだことだけを用いて解いていきます。

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おうぎ形と正方形の面積その1

例題1
次の図は、正方形とおうぎ形を組み合わせた図形です。色のついた部分の面積を求めなさい。

【標準】おうぎ形と正方形の面積の前半で見た問題とよく似ていますが、わかっている長さが違っています。リンク先では正方形の一辺の長さがわかっていましたが、この問題では対角線の長さがわかっています。

面積は、正方形の面積からおうぎ形の面積を引いて求めればいいですね。ただ、一辺の長さや半径を求めるのは難しいです。

先ほどのリンク先の後半では、ひし形や正方形の面積を、対角線の長さから求める方法もあることを見ました。対角線が垂直に交わっていれば、次のように変形すればいいのでした。

このことを使えば、正方形の面積は出せますね。\[ 6\times 6\times \dfrac{1}{2}=18 \]なので、 $18\mathrm{ cm }^2$ と求められます。

問題はおうぎ形の面積です。この例題では、半径×半径×円周率× $\dfrac{1}{4}$ を計算できればいいのですが、半径を求めるのは難しいです。しかし、面積を求めるには、半径ではなく、「半径×半径」がわかればいいんですね。そして、これはもうすでに求めています。この問題では、半径×半径とは、正方形の面積と同じです。半径はわからなくても、半径×半径がわかることもあるんですね。

こうして、おうぎ形の面積は、\[18\times\pi\times\frac{1}{4}=\frac{9}{2}\pi\]で求めることができるので、この問題の答えは、 $\left(18-\dfrac{9}{2}\pi\right)\mathrm{ cm }^2$ となります。

半径ではなく、半径×半径がわかればいい、と考えるのがポイントです。

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おうぎ形と正方形の面積その2

例題2
次の図は、正方形とおうぎ形を組み合わせた図形です。色のついた部分の面積を求めなさい。

これは、【標準】おうぎ形と正方形の面積の後半で見た問題とよく似ていますが、これも先ほどと同じように、わかっている長さが違います。リンク先では半径がわかっていますが、この問題では正方形の一辺の長さがわかっています。

正方形の面積は、 $16\mathrm{ cm }^2$ だとすぐにわかりますが、問題はおうぎ形の面積ですね。面積は、半径×半径×円周率× $\dfrac{1}{4}$ で求められますが、半径を求めるのは難しそうです。

おうぎ形と正方形の大きさの関係を見ると、正方形の対角線の長さとおうぎ形の半径が同じですね。それは、次のようにかくとわかりやすいです。

先ほどの例題では、おうぎ形の半径はわからなかったけど、半径×半径を求めることはできました。そのときに、正方形の面積を使いましたね。上の図でも、同じような考え方を応用して求めてみましょう。

おうぎ形の半径を $x\mathrm{ cm }$ とすると、 $x^2$ が求められれば面積が求められますね。この半径は、正方形の対角線とも同じです。また、対角線の長さを使って正方形の面積を表すと、 $\dfrac{x^2}{2}\mathrm{ cm }^2$ となります。この値は、 $16\mathrm{ cm }^2$ となるのだから、\[ x^2=16\times 2=32 \]と求められます。こうして、半径×半径が求められます。

こうして、おうぎ形の面積は、\[ x^2\times\pi\times\frac{1}{4}=8\pi \]と求められます。よって、色のついた部分の面積は、 $(8\pi-16)\mathrm{ cm }^2$ と求められます。

先ほどの例題と同じように、半径×半径を求めるのがポイントですが、求め方は先ほどよりも難しくなっています。

おわりに

ここでは、おうぎ形と正方形を組み合わせた図形の面積を求める問題を見てきました。半径は出せないが、半径×半径は求められる、という問題を見てきました。

どちらの例題も、対角線の長さがわかっているが一辺の長さはわからない、という問題でした。将来、このような例題でも一辺の長さを求められるようにもなり、もっと簡単に解けるようになるのですが、今の段階でもここで見たような考え方で解くこともできます。