自然数の乗法

自然数の加法に続いて、自然数の乗法の定義を行い、いくつかの性質を見ていくことにします。

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自然数の乗法の定義

このシリーズでは、自然数の定義を行った後、自然数の加法を定義しました。その次として、乗法、つまり、掛け算を定義しましょう。

小学生の時、何回も同じ数字を足すことを掛け算で表すことを習いました。この発想を使います。また、定義には、加法のときと同じように再帰的定義を使うことにしましょう。加法のときを見ながらであれば、次のように定義するのが自然でしょう。

自然数の乗法
以下を満たす関数 $f:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ が1つ存在する。

 1. $f(x,0)=x$

 2. $f(x,y^{+})=f(x,y)+x$

$\mathbb{N}$ 上の演算 $x\cdot y=f(x,y)$ を自然数 $\mathbb{N}$ の乗法といい、 $f(x,y)$ を $x$ と $y$ の積という。

1. は、「0を掛けたら結果は0」ということを表しています。2. は、わかりやすく翻訳すると、「 $x$ と $y$ の次の数との積は、 $x$ と $y$ との積に $x$ を足したもの」ということです。「 $x$ を $y$ 個足したものが $x\cdot y$ 」と定義しているわけではないですが、実質的にこれと同じことをやっています。

わかりやすく書きなおせば、上の2つの式は次のようになります。

 $x\cdot 0 = 0$
 $x\cdot y^{+} = x\cdot y+x$

まず、各 $x$ に対して $y=0$ としたときの $x\cdot y$ が決まります。続いて、 $0^{+}$ との積, $(0^{+})^{+}$ との積, … と定義していけば、すべての自然数に対して上の性質を満たすものが作成できます。こうして、次々に積を定義することができます。

なお、 $x\cdot y$ は、 $x\times y$ や $xy$ とも書きます。

具体的な乗法の計算

定義の確認と、今後使うための準備とを兼ねて、いくつか具体的な乗法の計算をしておきましょう。

例えば、 $2\times 3$ は次のような計算となります。

 $2\times 3$
 $=2\times 2^{+}$
 $=2\times 2 +2$ (乗法の定義2)
 $=2\times 1^{+} +2$
 $=2\times 1 +2 +2$ (乗法の定義2)
 $=2\times 0^{+} +2 +2$
 $=2\times 0 +2 +2 +2$ (乗法の定義2)
 $=0+2 +2 +2$ (乗法の定義1)
 $=2 +2 +2$
 $=4+2$
 $=6$

丁寧にやるとこうですが、今までに使ってきた自然数の乗法と同じ結果になります。

定理(0との積)
任意の $x\in\mathbb{N}$ に対して次が成り立つ。

 1. $x\cdot 0=0$
 2. $0\cdot x=0$

$x\cdot 0$ は、乗法の定義そのままです。2つ目は
\begin{eqnarray}
0\cdot x^{+}
&=&
0\cdot x+0 \\[5pt] &=&
0\cdot x
\end{eqnarray}なので、数学的帰納法から成り立つことがわかります。


定理(1との積)
任意の $x\in\mathbb{N}$ に対して次が成り立つ。

 1. $x\cdot 1=x$
 2. $1\cdot x=x$

$x\cdot 1$ は、乗法の定義から、
\begin{eqnarray}
x\cdot 1
&=&
x\cdot 0^{+} \\[5pt] &=&
x\cdot 0+x \\[5pt] &=&
0+x \\[5pt] &=&
x
\end{eqnarray}となることからわかります。

2つ目を考えます。 $1\cdot 0=0$ は定理(0との積)からわかります。また、 $1\cdot x=x$ とすると、
\begin{eqnarray}
1\cdot x^{+}
&=&
1\cdot x+1 \\[5pt] &=&
x+1 \\[5pt] &=&
x^{+}
\end{eqnarray}なので、数学的帰納法から成り立つことがわかります。


定理(次の数との積)
任意の $x,y\in\mathbb{N}$ に対して次が成り立つ。

 1. $x\cdot y^{+}=xy+x$
 2. $x^{+}\cdot y=xy+y$

1つ目は乗法の定義から成り立ちます。

2つ目を考えます。 $x$ をとめて、 $y$ に関する数学帰納法で考えます。

$y=0$ のときは $x^{+} \cdot 0=0$, $x\cdot 0+0=0$ となる(定理(0との積)より)ので、成り立ちます。

また、 $x^{+}\cdot y=xy+y$ とすると、

 $x^{+}\cdot y^{+}$
 $=x^{+}\cdot y +x^{+}$ (乗法の定義)
 $=x\cdot y +y+x^{+}$  (数学的帰納法の仮定)

 $=x\cdot y +y^{+}+x$ (自然数の加法の交換法則内の(*)より)
 $=x\cdot y +x+y^{+}$ (加法の交換法則・結合法則)
 $=x\cdot y^{+} +y^{+}$ (乗法の定義)

なので、数学的帰納法から成り立つことがわかります。

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自然数の乗法の交換法則

自然数の乗法の交換法則
任意の $x,y\in\mathbb{N}$ に対して次が成り立つ。\[ xy=yx \]

$y$ を固定して、 $x$ に関する数学的帰納法で考えます。

$x=0$ のときは $x\cdot 0=0\cdot x$ を示せばいいですが、先ほど見たように、積はどちらも $0$ になるので、この等式が成り立つことがわかります。

$x=k$ のときに $ky=yk$ とします。このとき

 $k^{+}y=ky+y$ (定理(次の数との積)より)
 $yk^{+}=yk+y$ (乗法の定義より)

であり、数学的帰納法の仮定から、 $k^{+}y=yk^{+}$ となることがわかります。

以上から、数学的帰納法より、 $xy=yx$ が成り立つことが示せました。

自然数の分配法則

自然数の分配法則
任意の $x,y,z\in\mathbb{N}$ に対して次が成り立つ。
\begin{eqnarray}
x(y+z) &=& xy+xz \\[5pt] (x+y)z &=& xz+yz
\end{eqnarray}

まずは、1つ目を考えます。 $x,y$ を固定して、 $z$ に関する数学的帰納法で考えます。

$z=0$ のとき、左辺は $x(y+0)=xy$ です。また、右辺は $xy+x\cdot 0=xy$ です。なので、成り立ちます。

$z=k$ のとき $x(y+k)=xy+xk$ とします。 $z=k^{+}$ とすると、左辺は

 $x(y+k^{+})$
 $=x(y+k)^{+}$ (加法の定義)
 $=x(y+k)+x$ (乗法の定義)
 $=xy+xk+x$ (数学的帰納法の仮定)

となります。一方、右辺は

 $xy+xk^{+}$
 $=xy+xk+x$ (乗法の定義)

となるので、このときも成り立ちます。

以上から、数学的帰納法より\[ x(y+z)=xy+xz \]が成り立つことがわかりました。

2つ目は、交換法則が成り立つことを使うと、次のように示せます。

 $(x+y)z$
 $=z(x+y)$ (乗法の交換法則)
 $=zx+zy$ (分配法則1つ目)
 $=xz+yz$ (乗法の交換法則)

こうして2つ目が成り立つことがわかります。


分配法則がなぜ成り立つのかをさかのぼって考えていくと、乗法の定義にたどりつきます。定義の2つ目は

 $x\cdot y^{+} = x\cdot y+x$

ということですが、これを書き直すと

 $x\cdot (y+1) = x\cdot y+x$

とも書けます。つまり、上で書いた分配法則で、 $z=1$ としたものが定義に使われていたことになります。なので、分配法則が成り立つことは、乗法の定義から自然と導かれることだと考えることができます。

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自然数の乗法の結合法則

定理(自然数の乗法の結合法則)
任意の $x,y,z\in\mathbb{N}$ に対して次が成り立つ。\[ (xy)z=x(yz) \]

掛け算はどちらから計算しても同じ、という内容です。

これも、 $z$ に関する数学的帰納法で示します。

$z=0$ のときは、両辺とも $0$ になるので成り立つことがわかります。

$z=k$ のときに $(xy)k=x(yk)$ が成り立つとすると

 $(xy)k^{+}$
 $=(xy)k+xy$ (乗法の定義)
 $=x(yk)+xy$ (数学的帰納法の仮定)

 $x(yk^{+})$
 $=x(yk+y)$ (乗法の定義)
 $=x(yk)+xy$ (分配法則)

となり、 $(xy)k^{+}=x(yk^{+})$ が成り立つことがわかります。

以上から、数学的帰納法より\[ (xy)z=x(yz) \]となることがわかります。

おわりに

ここでは、自然数の乗法の定義、そして基本的な性質をいくつか見てきました。ここでも、乗法の性質を確認するには、数学的帰納法が大いに活躍します。