【基本】整式の乗法

ここでは、整式の乗法について、まとめていきます。【基本】整式の加法と減法の続きです。

乗法の省略記号

乗法、つまり、掛け算は、普通は「$2\times 3$」のように書きます。しかし、この掛け算の記号と文字が混じると「$x\times x\times x\times x$」などとなり、「エックスなのか、掛け算記号なのか」見づらくなることがあります。こういったこともあり、「$x\cdot x\cdot x\cdot x$」というように、中点で掛け算のことを表すことがよくあります。

高校の教科書や問題集でも使われる記号で、当サイトでもよく使います。

計算の法則

数式の乗法に関して、次の３つの法則が成り立ちます。

交換法則と結合法則は、【基本】整式の加法と減法でも出てきましたが、加法のときと同様に乗法でも成り立ちます。入れ替えても、計算する順番を変えても、答えは変わりません。

分配法則は、カッコの外し方についてですね。分配法則を使ってカッコを外すことを、展開するといいます。

例えば、「2人分のカレーライス」というのは、「2人分のカレーと、2人分のライス」と同じことですよね。これは計算するときも同じで、 $A(B+C)$ というのは、「$B,C$ をあわせたものを $A$ 倍」するんだから、それぞれ $A$ を掛けて「$AB,AC$ をあわせたもの」に等しいということです。

この計算で「$AC$ の $A$ を忘れてしまう」間違いがよくあります。これはカレーライスの例でいうと、「カレーのルーは2人分あるのに、ライスが1人分しかない」ということと同じです。これではダメですよね。掛け忘れには注意しましょう。

累乗

整式の積を考える前に「文字の積」についてまとめておきます。

$n$ を自然数とします。このとき、文字 $x$ を $n$ 個掛け合わせたものを、$x^n$ と書き、「x の n 乗（じょう）」と読みます。このように、$x$ をいくつか掛け合わせたものを、$x$ の累乗（るいじょう）と呼びます。

$x^n$ と書いたとき、 $x$ のことを底（てい）、 $n$ のことを指数（しすう）と呼びます。

次に、累乗を含んだ計算を考えていきましょう。 $a^2 \times a^3$ はどうなるでしょうか。 $a^2,a^3$ は、それぞれ 2個の $a$ 、3個の $a$ を掛け合わせたものです。なので、この2つを掛け合わせると、トータルで 5個の $a$ を掛け合わせることになります。よって、答えは $a^5$ となります。つまり、こういうことですね。
\begin{eqnarray} a^2 \times a^3=a^{2+3}=a^5 \end{eqnarray}累乗の掛け算は、指数（右上の数字）の足し算になるんですね。

「累乗の累乗」はどうなるでしょうか。例えば、 $(a^2)^3$ はどうなるでしょう。これは、 $a^2$ を3個掛け合わせるということなので、全部で $a$ を6個掛け合わせることになります。つまり、こういうことです。
\begin{eqnarray} (a^2)^3=a^{2\times 3}=a^6 \end{eqnarray}累乗の累乗は、指数（右上の数字）の掛け算になります。

今までは文字が1種類の場合でしたが、複数の場合はどうなるでしょうか。 $(ab)^3$ を考えてみます。これは、「$ab$ を3個掛け合わせる」ということですが、掛け算は順番を変えてもいいので「 $a$ の掛け算、 $b$ の掛け算を先にする」ようにしても、答えは同じです。なので、 $a^3b^3$ になります。つまり、こういうことです。
\begin{eqnarray} (ab)^3=a^3b^3 \end{eqnarray}

以上のことをまとめて一般的な式にすると、次のようになります。

整式の乗法

整式同士の積は、指数法則や分配法則を使って計算していきます。

例えば、「$(-2xy^2)^2$」と「$(x^2y)^3$」の積は、次のようになります。
\begin{eqnarray} & & (-2xy^2)^2 \times (x^2y)^3 \\ &=& (-2)^2 x^2 (y^2)^2 \times (x^2)^3y^3 \\ &=& 4 x^2 y^4 \times x^6 y^3 \\ &=& 4 x^8 y^7 \\ \end{eqnarray}これは、指数法則を使っている例です。

また、「$x^2+x+1$」と「$x-1$」の積は、次のようになります。
\begin{eqnarray} & & (x^2+x+1) \times (x-1) \\ &=& (x^2+x+1)x + (x^2+x+1)\times(-1) \\ &=& x^3+x^2+x -x^2-x-1 \\ &=& x^3-1 \\ \end{eqnarray}これは、分配法則を使っている例です。このように、分配法則を繰り返し使えば、どんなカッコでも（頑張れば）はずすことができます。

おわりに

ここでは、整式の乗法について見てきました。数式の乗法は、指数法則や分配法則を使えば計算することができます。式の展開（カッコをはずすこと）は、分配法則などを地道に繰り返し使えば、必ず計算できます。

ただ、よく使うものは公式として覚えておく方が早い場合もあります。展開の公式については、別の記事（【基本】展開の公式）で紹介します。