【基本】展開の公式

ここでは、式の計算でよくでてくる展開に関する公式を見ていきます。多くは中学校で学んだものの復習です。

展開

「式を展開する(expand)」というのは、簡単にいうと式にあるすべてのカッコを外すことです。少し難しく言うと、次のようになります。

$A(B+C)=AB+AC$ や $(A+B)C=AC+BC$ といった、分配法則を繰り返し使えば、展開はいつでも行うことができます。

展開の公式

式を展開するときに、その都度計算しても問題ありません。しかし、よく使うものは公式として覚えておいた方が速く計算できます。すでに習っているものもありますが、まとめておきます。

なお、3番4番は右辺にカッコが残っていますが、実際には、a, b, c, d には数字が入って同類項をまとめる計算をするので、最終的にカッコは消えます。

それぞれの公式が成り立つことは、直接計算することで確かめられます。例えば、一番最後の式を地道に展開してみましょう。
\begin{eqnarray} & & (ax+b)(cx+d) \\ &=& ax(cx+d) +b(cx+d) \\ &=& acx^2+adx +bcx+bd \\ &=& acx^2 +(ad+bc)x +bd \end{eqnarray}このように直接確かめることができます。

展開の公式を使った計算

上で紹介した公式を使って、いくつか計算をしてみましょう。

(1)は、公式の1番を使えばＯＫですね。
\begin{eqnarray} (x-1)^2 = x^2-2x+1 \end{eqnarray}

(2)は、2番の公式です。
\begin{eqnarray} & & (2a+5b)(2a-5b) \\ &=& (2a)^2-(5b)^2 \\ &=& 4a^2 -25b^2 \end{eqnarray}

(3)は、4番の公式を使います。
\begin{eqnarray} & & (3x-4)(2x+1) \\ &=& 6x^2+(3-8)x-4 \\ &=& 6x^2-5x-4 \end{eqnarray}

おわりに

ここに出てきたような計算は、これから頻繁に出てきます。「公式を覚えよう」としなくても、何度も計算しているうちに、自然と身についていくでしょう。