🏠 Home / 数学I / 数と式 / 展開と因数分解

【基本】展開の公式

ここでは、式の計算でよくでてくる展開に関する公式を見ていきます。多くは中学校で学んだものの復習です。

📘 目次

展開

式を展開する(expand)」というのは、簡単にいうと式にあるすべてのカッコを外すことです。少し難しく言うと、次のようになります。

展開
複数の整式の積を一つの整式で表すことを、「整式を展開する」という。

$A(B+C)=AB+AC$ や $(A+B)C=AC+BC$ といった、分配法則を繰り返し使えば、展開はいつでも行うことができます。

展開の公式

式を展開するときに、その都度計算しても問題ありません。しかし、よく使うものは公式として覚えておいた方が速く計算できます。すでに習っているものもありますが、まとめておきます。

展開の公式
\begin{array}{l} 1. & (a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2 \\ & (a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2 \\[5pt] 2. & (a+b)(a-b) = a^2 -b^2 \\[5pt] 3. & (x+a)(x+b) = x^2 +(a+b)x +ab \\[5pt] 4. & (ax+b)(cx+d) = acx^2 +(ad+bc)x +bd \\ \end{array}

なお、3番4番は右辺にカッコが残っていますが、実際には、a, b, c, d には数字が入って同類項をまとめる計算をするので、最終的にカッコは消えます。

それぞれの公式が成り立つことは、直接計算することで確かめられます。例えば、一番最後の式を地道に展開してみましょう。
\begin{eqnarray} & & (ax+b)(cx+d) \\ &=& ax(cx+d) +b(cx+d) \\ &=& acx^2+adx +bcx+bd \\ &=& acx^2 +(ad+bc)x +bd \end{eqnarray}このように直接確かめることができます。

展開の公式を使った計算

上で紹介した公式を使って、いくつか計算をしてみましょう。

例題
次の式を展開せよ。
(1) $(x-1)^2$
(2) $(2a+5b)(2a-5b)$
(3) $(3x-4)(2x+1)$

(1)は、公式の1番を使えばOKですね。
\begin{eqnarray} (x-1)^2 = x^2-2x+1 \end{eqnarray}

(2)は、2番の公式です。
\begin{eqnarray} & & (2a+5b)(2a-5b) \\ &=& (2a)^2-(5b)^2 \\ &=& 4a^2 -25b^2 \end{eqnarray}

(3)は、4番の公式を使います。
\begin{eqnarray} & & (3x-4)(2x+1) \\ &=& 6x^2+(3-8)x-4 \\ &=& 6x^2-5x-4 \end{eqnarray}

おわりに

ここに出てきたような計算は、これから頻繁に出てきます。「公式を覚えよう」としなくても、何度も計算しているうちに、自然と身についていくでしょう。

関連するページ

YouTubeもやってます

チャンネル登録はコチラから (以下は、動画のサンプルです)
東北大学2024年度後期数学文理共通第4問 横浜国立大学文系2024年度後期数学第1問 奈良女子大学理学部2024年度数学第1問 成城大学経済学部2024年度A方式1日目数学第3問 一橋大学2024年度後期数学第5問1 近畿大学医学部2024年度後期数学第3問