【基本】正負の数の乗法(移動で考える)

ここでは、負の数の掛け算について見ていきます。移動を使って考えていきます。

【広告】

正の数と正の数の積を移動で考えてみよう

正の数と負の数との積や、負の数同士の積は、【基本】正負の数の乗法(規則性から考える)で見ましたが、ここでは、移動を用いてもう一度考えてみましょう。なお、掛け算のことを乗法と言い、掛け算の結果のことを積というのでしたね。

負の数の掛け算を考えるため、小学校の算数で、掛け算が出てきた場面を思い出してみましょう。「皿の上にみかんが3個あって、皿が4枚あるとすると、みかんは全部で何個あるか」みたいなときに使いました。ただ、このような「モノの個数」を使って考えても、負の数は扱いにくそうです。みかんがマイナス3個ある、といわれても意味が分かりません。なので、別の例を考えましょう。

掛け算は、「速さ×時間=距離」という場面でも使いました。時間であれば、マイナスの値を考えることもできますね。例えば、マイナス3時間というのは、今より3時間前だと考えることができます。速さがマイナスというのは、移動する向きが反対だと考えればいいですね。例えば、右に移動することをプラスで表すとすると、左への移動はマイナスで表すことができます。

なので、この「速さ×時間=距離」を使って、負の数の掛け算を考えてみることにしましょう。

次のように、左右に伸びる道があって、ある人が右向きに時速4kmで歩いているとします。右への移動をプラスで表すことにしましょう。数直線を意識しています。

今いる地点を基準にすると、3時間後にはどこにいるかを考えてみます。これは、算数でやりましたが、\[ 4\times3=12 \]なので、右に12km移動したところにいることがわかります。

右へ時速4km動くということを、符号をつけて表せば、 $+4$ とかけます。また、今を基準にすると、3時間後は、 $+3$ と表せます。なので、符号をつけて表せば、上の式は\[ (+4)\times(+3)=+12 \]とも書けますね。

こうした書き方をもとにして、負の数を掛けた場合を考えてみましょう。

正の数と負の数との積

先ほどの、「ある人が右向きに時速4kmで歩いている」ケースを考えます。この人は、2時間前はどこにいたでしょうか。時間がたてば、どんどん右に移動するのだから、時間をさかのぼれば、今よりも左にいることがわかるでしょう。

この2時間で $4\times 2=8$ kmだけ歩いているはずなので、2時間前は、今より8km左の地点にいることがわかります。

これらを、符号をつけた数で表してみましょう。速さは、先ほどと同じで $+4$ と書けます。また、今より2時間前は、 $-2$ となります。今より8km左の地点は、 $-8$ と書けるので、式で表せば、\[ (+4)\times(-2)=-8 \]となります。

数字の部分を掛けて、マイナスをつけたものになっていますね。

負の数と正の数との積

今度は、移動する向きを変えましょう。「ある人が左向きに時速4kmで歩いている」ケースを考えてみましょう。この人は、3時間後はどこにいるでしょうか。今度は、時間がたてば、どんどん左に移動していきます。

3時間で $4\times 3=12$ kmだけ歩いているはずなので、3時間前は、今より12km左の地点にいることがわかります。

これらを、符号をつけた数で表してみましょう。今、右への移動をプラスで表しているので、左への移動はマイナスとなります。なので、速さは、 $-4$ と書けます。また、今より3時間後は、 $+3$ となります。今より12km左の地点は、 $-12$ と書けるので、式で表せば、\[ (-4)\times(+3)=-12 \]となります。

今回も、数字の部分を掛けて、マイナスをつけたものになっていますね。

負の数同士の積

最後に、向きも時間も反対のケースを考えてみましょう。先ほどと同じ「ある人が左向きに時速4kmで歩いている」ケースで、2時間前にどこにいたかを考えてみましょう。このケースでは、時間がたてば、どんどん左に移動していくのだから、時間をさかのぼれば右にいることがわかります。

2時間で $4\times 2=8$ kmだけ歩いているはずなので、2時間前は、今より8km右の地点にいることがわかります。

これらを、符号をつけた数で表してみましょう。今、左への移動はマイナスで表すので、速さは、 $-4$ と書けます。また、今より2時間前は、 $-2$ となります。今より8km右の地点は、 $+8$ と書けるので、式で表せば、\[ (-4)\times(-2)=+8 \]となります。

負の数同士を掛ければ、答えは正になります。移動する向きが反対、時間の流れも反対だとすると、プラスになるんですね。

【基本】正負の数の乗法(規則性から考える)で見たときと同じ結果ですが、まとめておきましょう。

正負の数の乗法
同符号の数の積は、絶対値の積に正の符号をつけたもの。
異符号の数の積は、絶対値の積に負の符号をつけたもの。

規則性から考える場合は、負の分数や負の小数を含んだ場合が考えにくいかもしれません。しかし、移動で考えると、負の分数や負の小数を含んだ場合も、絶対値の積を計算して、符号を考えればいいことがわかるでしょう。速さや時間を分数や小数にして考えればいいですからね。

例題

例題
次の計算をしましょう。

(1) $(+3.2)\times(-4)$
(2) $\left(-\frac{1}{2}\right)\times\left(-\frac{2}{3}\right)$

符号以外は、そのまま掛けます。符号は、同じならプラス、違うならマイナスにします。

(1)は、\[ (+3.2)\times(-4)=-12.8 \]となります。(2)は、\[ \left(-\frac{1}{2}\right)\times\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3} \]となります。マイナス同士の積なので、答えはプラスになります。

おわりに

ここでは、移動を使って、負の数の積について考えました。負の数同士の積は少しわかりづらいですが、移動する向きが反対になり、時間の流れも反対になる、と考えるとわかるのではないかと思います。