【基本】反比例のグラフ

ここでは、反比例のグラフのかき方を見ていきます。

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反比例のグラフ

【基本】比例のグラフで見たときと同じようにして、反比例のグラフをかいていきます。 $x$ と $y$ の値の対応表を書いて、対応する点をとっていく、という流れです。

$y=\dfrac{6}{x}$ のグラフを考えてみます。 $x$ が $1$ から $6$ までの整数の値をとるとすると、 $y$ との対応は次のようになります。 $y=\dfrac{6}{x}$ に代入して計算していくだけです。この内容は、小学校でもやったかもしれません。

$x$ $y$
1 6
2 3
3 2
4 1.5
5 1.2
6 1

小学校のときと違うのは、負の数も考える点です。 $x$ が $-6$ から $-1$ のときも同様に考えます。

$x$ $y$
-6 -1
-5 -1.2
-4 -1.5
-3 -2
-2 -3
-1 -6

このようになります。なお、 $0$ で割ることはできないので、 $x=0$ の場合は考えません。

これらの点を、座標平面上にとっていきましょう。 $0.1$ 刻みの方眼紙を使うと、次のようになることがわかります。

比例のときとはまったく違った感じになりそうですね。 $1$ 刻みではなく、もっと細かい間隔で点をとっていくと次のようになります。

これを繰り返していくと、次のようななめらかな2つの曲線になります。

この2つの曲線が $y=\dfrac{6}{x}$ のグラフです。この曲線は、双曲線(hyperbola) と呼ばれています。

比例定数が負の場合

比例のグラフでは、比例定数が正か負かで、グラフの形が違っていましたね。正なら右肩上がり、負なら右肩下がりでした。反比例のグラフでは、比例定数が負になると、どのように変わるのか見てみましょう。

$y=-\dfrac{4}{x}$ のグラフを考えます。この場合、 $x$ 座標も $y$ 座標もどちらも整数になる点を考えると、次のようになります。

$x$ $y$
-4 1
-2 2
-1 4
0
1 -4
2 -2
4 -1

これをもとに点をとると、次のようになります。

これも、点の間隔を細かくしていくと、次のようななめらかな曲線となります。

これが $y=-\dfrac{4}{x}$ のグラフとなります。

比例定数が正の場合は、グラフは、原点から見て、右上と左下の部分にあります。比例定数が負の場合は、原点から見て、右下と左上の部分にあります。比例定数の符号によって、反比例のグラフはこのような違いが生まれます。

端っこはどうなっているか

$y=\dfrac{6}{x}$ のグラフをもう一度見てみましょう。

この図では切れていますが、もっと右側はどうなっているでしょうか。 $x$ 軸に近づいていますが、このままくっついたり、交わったりするのでしょうか。

これを考えるには、グラフではなく、もとの式を利用するほうがいいです。 $y=\dfrac{6}{x}$ で、 $x$ をどんどん大きくしていってみましょう。 $x=10,100,1000$ …と大きくしていけば、 $y$ は、 $0.6$, $0.06$, $0.006$ とどんどん小さくなっていきます。が、正の数で割る限り、 $y$ は正の数のままです。 $x$ を大きくしていくと、 $y$ は $0$ に近づいては行きますが、 $0$ になることはないですし、負になることもありません。

このことから、グラフの右のほうは、どんどん $x$ 軸には近づくが、くっついたり交わったりすることはない、ということがわかります。これは他も同様です。右に行くほど、また、左に行くほど、グラフは $x$ 軸に近づき、上に行くほど、また、下に行くほど $y$ 軸に近づいていきますが、くっついたり交わったりすることはありません。

なので、ノートをとるときやテストなどでも、反比例 $y=\dfrac{a}{x}$ のグラフをかくときには、グラフが $x$ 軸や $y$ 軸と交わらないようにしないといけません。

おわりに

ここでは、反比例のグラフのかき方、そして、反比例の性質を見てきました。フリーハンドで反比例 $y=\dfrac{a}{x}$ のグラフをかくときは、 $x$ 座標や $y$ 座標がわかりやすい点をいくつかとってから、なめらかな曲線でつなぐようにします。そのとき、軸と交わらないように注意しましょう。