【標準】反比例を表す式

ここでは、反比例を表す式に関連する問題を見ていきます。

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表を埋める問題

例題1
$y$ が $x$ に反比例し、次の表のような関係になっているとします。

$x$ -4 -2 1 2 3
$y$ 6 $A$ $B$ -12 $C$

(1) $A$, $B$, $C$ の値を求めなさい。
(2) 比例定数を求めなさい。
(3) $y$ を $x$ の式で表しなさい。

反比例することがわかっているので、【基本】反比例を表す式で見たように、 $x$ を2倍、3倍、…とすれば、それにともなって、 $y$ も$\dfrac{1}{2}$ 倍、 $\dfrac{1}{3}$ 倍、…と変わっていきます。

$x=-4$ から $x=-2$ に変化するとき、 $x$ は $\dfrac{1}{2}$ 倍となっているので、 $y$ は2倍になります。よって、 $A=12$ です。同様に、 $x=2$ から $x=1$ に変化するときも、 $x$ は $\dfrac{1}{2}$ 倍となっているので、 $y$ は2倍になります。よって、 $B=-24$ とわかります。

$x=1$ から $x=3$ に変化するとき、 $x$ は3倍となっているので、 $y$ は $\dfrac{1}{3}$ となることから、 $C=-8$ となります。これらが(1)の答えです。

$y$ が $x$ に反比例のとき、片方が2倍、3倍、…となれば、もう片方は $\dfrac{1}{2}$ 倍、 $\dfrac{1}{3}$ 、…と変わっていくため、 $xy$ は一定の値になります。この値を比例定数というのでしたね(参考:【基本】反比例を表す式)。なので、比例定数は $-24$ です。

(3)は、 $xy=-24$ とわかったのだから、 $y=-\dfrac{24}{x}$ となります。このようにして、反比例の式を求められます。

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反比例の式を求める問題

例題2
$y$ が $x$ に反比例し、 $x=6$ のとき $y=-\dfrac{3}{4}$ です。

(1) $y$ を $x$ の式で表しなさい。
(2) $x=-9$ のときの $y$ の値を求めなさい。

反比例することから、 $y=\dfrac{a}{x}$ と書けます(a は比例定数)。この式を用いて、条件にあうように $a$ を求めれば(1)が解けます。こうして得られた式を使えば、(2)も解くことができます。解答は次のようになります。

解答
(1) $y$ が $x$ に反比例するので、 $y=\dfrac{a}{x}$ と書ける(a は比例定数)。 $x=6$ のとき $y=-\dfrac{3}{4}$ なので、\[ -\dfrac{3}{4} = \frac{a}{6} \]が成り立つ。これより、 $a=-\dfrac{9}{2}$ となる。よって、 $y=-\dfrac{9}{2x}$ となる。

答: $y=-\dfrac{9}{2x}$

(2) $y=-\dfrac{9}{2x}$ に $x=-9$ を代入すると\[ y=-\frac{9}{2}\times \left(-\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{2} \]となる。

答: $y=\dfrac{1}{2}$

(2)は、 $x$ の値の変化に着目して解くこともできます。 $x=6$ から $x=-9$ に変化するとき、 $x$ は $\dfrac{-9}{6}=-\dfrac{3}{2}$ 倍になっているので、 $y$ は $-\dfrac{2}{3}$ 倍になります。よって、\[ -\frac{3}{4}\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)=\frac{1}{2} \]となり、同じ結果が得られます。どちらの方法で解いてもいいですが、この例題の(1)のように、 $y$ を $x$ の式で表した後は、 $x$ に値を代入して計算することが多いです。

反比例しているか判定する問題

例題3
$y$ を $x$ の式で表し、 $y$ が $x$ に反比例するかどうか、答えなさい。

(1) 底面積が $x$ $\mathrm{cm}^2$ で、高さが $y$ cmの直方体の体積が $36$ $\mathrm{cm}^3$ である。

(2) 上底が $x$ cm、下底が 8cm 、高さが $y$ cmの台形の面積が $36$ $\mathrm{cm}^2$ である。

(3) 原価が $x$ 円の商品に原価の2割の利益を見込んでつけた定価をつけ、その商品を $y$ 個売ったときの売り上げが 6000円であった。

(1) 直方体の体積は、底面積と高さを掛ければ求められるので、\[ 36=xy \]なので、 $y=\dfrac{36}{x}$ となります。これは、反比例の式 $y=\dfrac{a}{x}$ で $a=36$ としたものなので、反比例しているといえます。

(2) 台形の面積は、上底と下底を足し、高さを掛けて2で割ると求められます。なので、\[ \frac{(x+8)y}{2}=36 \]が成り立ちます。両辺に $2$ を掛けて、 $x+8$ で割れば、\[ y=\frac{72}{x+8} \]となります。反比例の式の比例定数をどのように変えてもこの式にはならないので、反比例しているとはいえません。

(3) 定価は $1.2x$ 円ですね。なので、\[ 1.2x \times y = 6000 \]が成り立つので、\[ y=\frac{5000}{x} \]となります。比例定数を $5000$ としたものなので、反比例していると言えます。

おわりに

ここでは、反比例の式に関する問題を見ました。基本的には、 $y=\dfrac{a}{x}$ の式を使って考えます。 $x$ が分母にある点に注意しましょう。例えば、 $y=\frac{x}{4}$ と $y=\dfrac{4}{x}$ は似ていますが、まったく違います。前者は比例の式、後者は反比例の式です。分数を含んでいる比例の式と形が似ているので、注意しましょう。