【基本】無限級数

🕒 2018/08/12 🔄 2023/06/24

ここでは、数列の和の極限について見ていきます。

📘 目次

無限級数

数列の分野では、数列の一般項などに加え、数列の和についても学びました。【基本】数列の極限では、無限数列の極限について考えましたが、数列の和についても極限を考えることができます。

無限数列 $\{a_n\}$ において、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおきます。つまり、
\begin{eqnarray} S_n &=& a_1+a_2+\cdots+a_n \\[5pt] &=& \sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray}ということです。こうすると、この和を集めた数列 $\{S_n\}$ もまた、無限数列となるので、これの極限について考えることができます。式で書けば\[ a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \]について考える、ということです。この式を無限級数(infinite series) といい、\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k \]といった記号で表します。

無限級数が収束するか発散するか、収束するならその値は何か、ということを今後考えていきます。無限級数をメインで考えている場合、「初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ 」は、無限級数の一部分だと考えられるので、これを部分和(partial sum) と呼びます。

無限級数の収束

具体的な数列を使って、無限級数について考えてみましょう。

例題1

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}$ を求めなさい。

まずは部分和について考えます。第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおきます。【基本】和の記号Σと部分分数分解で見たように、部分分数分解をして
\begin{eqnarray} S_n &=& \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} \\[5pt] &=& \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) \\ & & +\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\[5pt] &=& 1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}と変形できます。よって、この部分和は収束することがわかり、\[ \lim_{n\to\infty} S_n =\lim_{n\to\infty} \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=1 \]となるので、\[\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}=1 \]と求められます。

このように、部分和の数列が収束するとき、この無限級数は収束する、と言います。また、このときの極限値を、無限級数の和といい、この和も $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k$ で表します。

無限級数の発散

例題2

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n} }$ を求めなさい。

これも、まずは部分和について考えます。第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおきます。【標準】和の記号Σと有理化で見たように、有理化をすると、\[ \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n} }=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \]と変形できることを用いて
\begin{eqnarray} S_n &=& \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1} }+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2} }+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n} } \\[5pt] &=& (\sqrt{2}-\sqrt{1}) +(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \\ & & +\cdots +(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \\[5pt] &=& \sqrt{n+1}-1 \end{eqnarray}と変形できます。よって、この部分和は正の無限大に発散することがわかるので、\[\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n} }=\infty \]と求められます。

このように、部分和の数列が発散するとき、この無限級数は発散する、と言います。