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東京大学 理系 2022年度 第6問 解説

問題編

問題

 O を原点とする座標平面上で考える。 $0$ 以上の整数 $k$ に対して、ベクトル $\vec{v_k}$ を\[ \vec{v_k}=\left(\cos\frac{2k\pi}{3}, \sin\frac{2k\pi}{3}\right) \]と定める。投げたとき表と裏がどちらも $\dfrac{1}{2}$ の確率で出るコインを $N$ 回投げて、座標平面上に点 $\mathrm{ X }_0, \mathrm{ X }_1,\mathrm{ X }_2,\cdots,\mathrm{ X }_N$ を以下の規則(i), (ii) に従って定める。

 (i) $\mathrm{ X }_0$ は O にある。

 (ii) $n$ を $1$ 以上 $N$ 以下の整数とする。 $\mathrm{ X }_{n-1}$ が定まったとし、 $\mathrm{ X }_n$ を次のように定める。

 ・$n$ 回目のコイン投げで表が出た場合、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OX }_n }=\overrightarrow{ \mathrm{ OX }_{n-1} }+\vec{v_k} \]により $\mathrm{ X }_n$ を定める。ただし、 $k$ は $1$ 回目から $n$ 回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。

 ・$n$ 回目のコイン投げで裏が出た場合、 $\mathrm{ X }_n$ を $\mathrm{ X }_{n-1}$ と定める。

(1) $N=8$ とする。 $\mathrm{ X }_8$ が O にある確率を求めよ。

(2) $N=200$ とする。 $\mathrm{ X }_{200}$ が O にあり、かつ、合計 $200$ 回のコイン投げで表がちょうど $r$ 回である確率を $p_r$ とおく。ただし $0\leqq r\leqq 200$ である。 $p_r$ を求めよ。また $p_r$ が最大となる $r$ の値を求めよ。

考え方

(1)は、すべての場合を書き出して力づくで解くこともできますが、それだと(2)ができません。(2)が解けるように、うまく数えることができないか考えます。

裏が出た回数でベクトルが変わるため、裏を基準に考えると解きやすくなるかもしれません。

(2)で確率が求められれば、最大となる $r$ は、パスカルの三角形を想像すれば予想できます。評価の仕方もよくある手法を使います。


解答編

問題

 O を原点とする座標平面上で考える。 $0$ 以上の整数 $k$ に対して、ベクトル $\vec{v_k}$ を\[ \vec{v_k}=\left(\cos\frac{2k\pi}{3}, \sin\frac{2k\pi}{3}\right) \]と定める。投げたとき表と裏がどちらも $\dfrac{1}{2}$ の確率で出るコインを $N$ 回投げて、座標平面上に点 $\mathrm{ X }_0, \mathrm{ X }_1,\mathrm{ X }_2,\cdots,\mathrm{ X }_N$ を以下の規則(i), (ii) に従って定める。

 (i) $\mathrm{ X }_0$ は O にある。

 (ii) $n$ を $1$ 以上 $N$ 以下の整数とする。 $\mathrm{ X }_{n-1}$ が定まったとし、 $\mathrm{ X }_n$ を次のように定める。

 ・$n$ 回目のコイン投げで表が出た場合、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OX }_n }=\overrightarrow{ \mathrm{ OX }_{n-1} }+\vec{v_k} \]により $\mathrm{ X }_n$ を定める。ただし、 $k$ は $1$ 回目から $n$ 回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。

 ・$n$ 回目のコイン投げで裏が出た場合、 $\mathrm{ X }_n$ を $\mathrm{ X }_{n-1}$ と定める。

(1) $N=8$ とする。 $\mathrm{ X }_8$ が O にある確率を求めよ。

(2) $N=200$ とする。 $\mathrm{ X }_{200}$ が O にあり、かつ、合計 $200$ 回のコイン投げで表がちょうど $r$ 回である確率を $p_r$ とおく。ただし $0\leqq r\leqq 200$ である。 $p_r$ を求めよ。また $p_r$ が最大となる $r$ の値を求めよ。

解答

$0$ 以上の整数 $k$ について
\begin{eqnarray} \vec{v_{3k} } &=& \left(1, 0\right) \\[5pt] \vec{v_{3k+1} } &=& \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3} }{2}\right) \\[5pt] \vec{v_{3k+2} } &=& \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3} }{2}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。 $\overrightarrow{ \mathrm{ OX }_n }$ を定めるまでに $\vec{v_0}$, $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ を足した回数をそれぞれ $a,b,c$ とすると、 $\mathrm{ X }_n$ が O にあることは \begin{eqnarray} a-\frac{b}{2}-\frac{c}{2} &=& 0 \\ b-c &=& 0 \end{eqnarray}の2つが成り立つことと同値である。つまり、 $a=b=c$ であることと同値である。

$\mathrm{ X }_n$ を定めるときに、$\vec{v_0}$, $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ を足したことをそれぞれ $A,B,C$ で表し、裏が出たことを $X$ で表したものを、「結果」と呼ぶことにする。例えば、コインが「表裏表裏表」の順で出れば、結果は $AXBXC$ となる。

(1)
$a=b=c$ なので、 $0,1,2$ の場合がありうる。

(ア) $a=b=c=0$ のとき
すべて裏の場合なので、1通り。

(イ) $a=b=c=1$ のとき
このとき、裏が5回である。結果から、 $X$ の部分だけを抜き出すと $XXXXX$ となる。 $A$ が現れるところは、1つ目の $X$ の前か 4つ目の前だけである。 $B$ は1つ目の後か4つ目の後で、 $C$ は2つ目の後か5つ目の後である。これらは自由に選べるので、このような場合の数は\[ 2\times 2\times 2=8 \]通りである。

(ウ) $a=b=c=2$ のとき
このとき、裏が2回である。結果から、 $X$ の部分だけを抜き出すと $XX$ となる。 $A$ が現れるところは、1つ目の $X$ の前だけである。 $B$ は1つ目の後で、 $C$ は2つ目の後である。つまり、結果は $AAXBBXCC$ となるしかなく、1通りである。

(ア)(イ)(ウ)より、 $\mathrm{ X }_8$ が $\mathrm{ O }$ にあるようなコインの出方は $1+8+1=10$ 通りであるから、こうなる確率は\[ \frac{10}{2^8}=\frac{5}{128} \]である。(答)

(2)
$a=b=c$ なので、 $r$ が $3$ の倍数でないときは $p_r=0$ である。

以下では、 $r$ が $3$ の倍数のときを考える。このとき、 $0$ 以上 $66$ 以下のある整数 $m$ を使って、 $r=3m$ と表すことができる。

結果から $X$ の部分だけを抜き出すと、 $X$ が $200-3m$ 個並ぶ。 $m$ が正のとき、 $A$ が現れるところは、 $1,4,\cdots 199-3m$ 番目の前だけ(全部で $67-m$ 箇所)であり、$A$ は合計で $m$ 個現れる。この場合の数は、 $m$ 個の〇と $66-m$ 個の|を並び替える場合の数と等しく、 ${}_{66}\mathrm{C}_m$ 通りである。これは $m=0$ のときも成り立つ。

$B$ が現れる場所、 $C$ が現れる場所も同じようにして ${}_{66}\mathrm{C}_m$ 通りだとわかるので
\begin{eqnarray} p_r = \frac{({}_{66}\mathrm{C}_{\frac{r}{3} })^3}{2^{200} } \end{eqnarray}となる。

また、 $m$ が $66$ 以下の正の整数のとき
\begin{eqnarray} & & {}_{66}\mathrm{C}_m \div {}_{66}\mathrm{C}_{m-1} \\[5pt] &=& \frac{66!}{m!(66-m)!} \div \frac{66!}{(m-1)!(66-m+1)!} \\[5pt] &=& \frac{67-m}{m} \\[5pt] &=& \frac{67}{m}-1 \end{eqnarray}なので、 $m\leqq 33$ で狭義単調増加、 $m\geqq 33$ で狭義単調減少とわかるので、 $m=33$ のときに最大だとわかる。このとき、 $r=3m=99$ である。

以上から、

$r$ が $3$ の倍数でないとき $p_r=0$

$r$ が $3$ の倍数のとき $p_r=\dfrac{({}_{66}\mathrm{C}_{\frac{r}{3} })^3}{2^{200} }$

$p_r$ が最大となる $r$ の値は $99$
(答)

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