問題編
問題
次の関数 $f(x)$ を考える。\[ f(x)=(\cos x)\log(\cos x)-\cos x+\int_0^x (\cos t)\log(\cos t) dt \quad \left(0\leqq x\lt\frac{\pi}{2} \right) \]
(1) $f(x)$ は区間 $0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ において最小値を持つことを示せ。
(2) $f(x)$ は区間 $0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ における最小値を求めよ。
考え方
微分積分の計算をするだけの問題です。(1)がわざわざ用意されているのは、「最小値を持つことを示すだけでも、部分点をあげますよ」という意思表示でしょう。
(2)の積分は計算量が多くて第1問から大変です。ただ、積分の計算練習をしていれば、どこかでやったことのある内容の組合せです。練習量が反映される問題です。
解答編
問題
次の関数 $f(x)$ を考える。\[ f(x)=(\cos x)\log(\cos x)-\cos x+\int_0^x (\cos t)\log(\cos t) dt \quad \left(0\leqq x\lt\frac{\pi}{2} \right) \]
(1) $f(x)$ は区間 $0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ において最小値を持つことを示せ。
(2) $f(x)$ は区間 $0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ における最小値を求めよ。
解答
(1)
\begin{eqnarray}
f'(x)
&=&
(-\sin x)\log(\cos x)+(\cos x)\cdot\frac{-\sin x}{\cos x} \\
& & +\sin x +(\cos x)\log(\cos x) \\[5pt]
&=&
(\cos x-\sin x)\log(\cos x) \\[5pt]
&=&
\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\log(\cos x) \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。 $0\leqq x\lt\dfrac{\pi}{2}$ において、 $\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0$ ならば $x=\dfrac{\pi}{4}$ であり、 $\log(\cos x)=0$ ならば $x=0$ なので、 $f'(x)=0$ となるのは $x=0,\dfrac{\pi}{4}$ のときのみ。よって、増減表は以下のようになる。
\begin{array}{c|ccccc}
x & 0 & \cdots & \tfrac{\pi}{4} & \cdots & \tfrac{\pi}{2} \\
\hline
f'(x) & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
f(x) & & \searrow & & \nearrow & \times
\end{array}よって、 $f(x)$ は $x=\dfrac{\pi}{4}$ で最小値をとることがわかる。（終）
(2)
(1)より、最小値は $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ である。
\begin{eqnarray}
f\left(\frac{\pi}{4}\right)
&=&
\frac{\sqrt{2} }{2}\log\frac{\sqrt{2} }{2}-\frac{\sqrt{2} }{2} \\
& & +\int_0^{\pi/4} (\cos t)\log(\cos t) dt
\end{eqnarray}である。ここで
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\pi/4} (\cos t)\log(\cos t) dt \\[5pt]
&=&
\left[(\sin t) \log(\cos t)\right]_0^{\pi/4}
-\int_0^{\pi/4} (\sin t) \frac{-\sin t}{\cos t} dt \\[5pt]
&=&
\frac{\sqrt{2} }{2}\log\frac{\sqrt{2} }{2}
+\int_0^{\pi/4} \frac{1-\cos^2 t}{\cos t} dt \\[5pt]
&=&
\frac{\sqrt{2} }{2}\log\frac{\sqrt{2} }{2} \\
& & +\int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos t} dt-\int_0^{\pi/4} \cos t dt \\[5pt]
&=&
\frac{\sqrt{2} }{2}\log\frac{\sqrt{2} }{2} \\
& & +\int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos t} dt -\left[\sin t\right]_0^{\pi/4} \\[5pt]
&=&
\frac{\sqrt{2} }{2}\log\frac{\sqrt{2} }{2}-\frac{\sqrt{2} }{2} +\int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos t} dt \\[5pt]
\end{eqnarray}である。また、
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos t} dt \\[5pt]
&=&
\int_0^{\pi/4} \frac{\cos t}{\cos^2 t} dt \\[5pt]
&=&
\int_0^{\pi/4} \frac{\cos t}{1-\sin^2 t} dt \\[5pt]
&=&
\int_0^{\pi/4} \frac{1}{2}\left\{ \frac{\cos t}{1-\sin t}+\frac{\cos t}{1+\sin t} \right\} dt \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2}\left[ -\log(1-\sin t)+\log(1+\sin t) \right]_0^{\pi/4} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2} \log\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2} }}{1-\frac{1}{\sqrt{2} }} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2} \log\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \\[5pt]
&=&
\frac{1}{2} \log(\sqrt{2}+1)^2 \\[5pt]
&=&
\log(\sqrt{2}+1) \\[5pt]
\end{eqnarray}なので
\begin{eqnarray}
& &
f\left(\frac{\pi}{4}\right) \\[5pt]
&=&
\frac{\sqrt{2} }{2}\log\frac{\sqrt{2} }{2}-\frac{\sqrt{2} }{2} \\
& & +\int_0^{\pi/4} (\cos t)\log(\cos t) dt \\[5pt]
&=&
\frac{\sqrt{2} }{2}\log\frac{\sqrt{2} }{2}-\frac{\sqrt{2} }{2} \\
& & +\frac{\sqrt{2} }{2}\log\frac{\sqrt{2} }{2}-\frac{\sqrt{2} }{2} \\
& & +\int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos t} dt \\[5pt]
&=&
\sqrt{2}\log\frac{\sqrt{2} }{2}-\sqrt{2} +\log(\sqrt{2}+1) \\[5pt]
&=&
-\frac{\sqrt{2} }{2}\log 2-\sqrt{2} +\log(\sqrt{2}+1) \\[5pt]
\end{eqnarray}が最小値である。（答）
