東京大学理系 2017年度第1問解説

🕒 2017/02/26 🔄 2023/05/01

問題編

問題

　実数 a, b に対して\[ f(\theta)=\cos 3\theta +a\cos 2\theta +b\cos\theta \]とし、 $0\lt\theta \lt \pi$ で定義された関数\[ g(\theta)=\frac{f(\theta)-f(0)}{\cos\theta-1} \]を考える。

(1) $f(\theta)$ と $g(\theta)$ を $x=\cos\theta$ の整式で表せ。
(2) $g(\theta)$ が $0\lt \theta \lt\pi$ の範囲で最小値 $0$ をとるための a, b についての条件を求めよ。また、条件を満たす点 $(a,b)$ が描く図形を座標平面上に図示せよ。

考え方

(1)は、三倍角、倍角の公式を使って、 $\cos\theta$ だけの式に変形します。 $g(\theta)$ は、 $\theta=0$ のとき、つまり、 $x=1$ のときに、分母も分子も0になるので、分子は分母で割り切れることに注意します。

(2)は、軸に文字が入った場合の、二次関数の最小値を考える問題です。軸の位置に分けて場合分けをします。区間の両端が区間に含まれていないことに注意しましょう。

解答編

問題

　実数 a, b に対して\[ f(\theta)=\cos 3\theta +a\cos 2\theta +b\cos\theta \]とし、 $0\lt\theta \lt \pi$ で定義された関数\[ g(\theta)=\frac{f(\theta)-f(0)}{\cos\theta-1} \]を考える。

(1) $f(\theta)$ と $g(\theta)$ を $x=\cos\theta$ の整式で表せ。
(2) $g(\theta)$ が $0\lt \theta \lt\pi$ の範囲で最小値 $0$ をとるための a, b についての条件を求めよ。また、条件を満たす点 $(a,b)$ が描く図形を座標平面上に図示せよ。

解答

(1)
\begin{eqnarray} f(\theta) &=& \cos 3\theta +a\cos 2\theta +b\cos\theta \\ &=& (4\cos^3 \theta-3\cos\theta) +a(2\cos^2\theta-1) +b\cos\theta \\ &=& 4\cos^3 \theta +2a\cos^2\theta+(b-3)\cos\theta -a \end{eqnarray}なので、 $x=\cos\theta$ とすると $f(\theta)$ は\[ 4x^3+2ax^2+(b-3)x-a \]と表すことができる。

また\[ f(0)=1+a+b \]なので $g(\theta)$ は
\begin{eqnarray} & & \frac{4x^3+2ax^2+(b-3)x-a -(1+a+b)}{x-1} \\[5pt] &=& \frac{4x^3+2ax^2+(b-3)x-2a-b-1}{x-1} \\[5pt] &=& 4x^2 +(2a+4)x +2a+b+1 \end{eqnarray}と表すことができる。

(2)
$h(x)=4x^2 +(2a+4)x +2a+b+1$ とおく。 $0\lt\theta\lt\pi$ のとき、 $-1\lt x\lt 1$ なので、この範囲を x が動くときに $h(x)$ の最小値が $0$ となるための条件を求めればよい。

\begin{eqnarray} h(x) &=& 4 \left(x+\frac{a+2}{4}\right)^2 -\frac{(a+2)^2}{4}+2a+b+1 \\[5pt] &=& 4 \left(x+\frac{a+2}{4}\right)^2 -\frac{a^2}{4}+a+b \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

この放物線の軸は $x=-\dfrac{a+2}{4}$ であるから、 $-\dfrac{a+2}{4} \leqq -1$ のときは $y=h(x)$ は単調増加となり、 $-1\lt x\lt 1$ の範囲で最小値をとらない。また、 $-\dfrac{a+2}{4} \geqq 1$ のときは $y=h(x)$ は単調減少となり、 $-1\lt x\lt 1$ の範囲で最小値をとらない。

よって、以下では $-1 \lt -\dfrac{a+2}{4} \lt 1$ とする。これを解くと
\begin{eqnarray} & & -1 \lt -\dfrac{a+2}{4} \lt 1 \\[5pt] & & -4 \lt -a-2 \lt 4 \\[5pt] & & -2 \lt -a \lt 6 \\[5pt] & & -6 \lt a \lt 2 \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、この範囲で考える。

このとき、 $y=h(x)$ は頂点で最小値をとるので、最小値が $0$ となるのは
\begin{eqnarray} -\frac{a^2}{4}+a+b &=& 0 \\[5pt] b &=& \frac{1}{4}a^2-a \\[5pt] &=& \frac{1}{4}(a-2)^2-1 \\[5pt] \end{eqnarray}となるときであり、この条件を満たすとき、 $y=h(x)$ は $x=-\dfrac{a+2}{4}$ のときに最小値 $0$ をとる。

よって、求める条件は「 $-6 \lt a \lt 2$ かつ $b= \dfrac{1}{4}a^2-a$ 」であり、これを満たす点 $(a,b)$ の描く図形は次の実線部分（両端の点は含まない）となる。