東京大学 理系 2006年度 第4問 解説

問題編

【問題】
 次の条件を満たす組$(x,y,z)$を考える。

 条件(A):$x,y,z$は正の整数で、$x^2+y^2+z^2=xyz$および$x\leqq y \leqq z$を満たす。

以下の問いに答えよ。

(1) 条件(A)を満たす組$(x,y,z)$で、$y\leqq 3$となるものをすべて求めよ。

(2) 組$(a,b,c)$が条件(A)を満たすとする。このとき、組$(b,c,z)$が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ。

(3) 条件(A)を満たす組$(x,y,z)$は、無数に存在することを示せ。

【広告】
ハイレベルな基礎の徹底の上に、本物の数学力が育つ。東大受験指導の名門・鉄緑会大阪校で実際に行われている「数学の基礎固め」。東大・京大・難関国立大学を目指す受験生のための、強固な数学の基礎力がつく一書。
著者: 鉄緑会大阪校数学科
出版社: KADOKAWA
発売日: 2015/11/28
337ページ

【考え方】
(1)は、$x,y$の組が限定されるので考えやすいですね。まず、$x=y=1$のときを考えてみます。このとき、zがわかればいいのですが、zを出すには条件式をzの二次方程式を見ればいいことがわかります。

条件の式をzの方程式をとしてみると、zは$x,y$を用いて表せるので、zは簡単に求めることができます。

(2)は、2組が条件を満たすとしたときに、zが満たす条件を考えれば求めることができます。zを具体的に$a,b,c$を用いて表現できます。

(3)は、(1)と(2)を用いれば、ほぼ明らかな結果です。