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東京大学 理系 2006年度 第2問 解説

問題編

【問題】
 コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの過程に関係なく、pであるとする。

 最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率を$P_n$とする。ただし、記号○がn個出た段階で操作は終了する。

(1) $P_2$をpで表せ。

(2) $n\geqq 3$のとき、$P_n$をpnで表せ。

【考え方】
「○が表示される確率はp」というのが普通ですが、ここでは、「前回と同じ記号が表示される確率がp」となっていて、ちょっと見慣れない表現になっています。そのため、普通なら「○か×か」を考えますが、この問題では、「前回と同じ記号かどうか」に着目して考えていきます。

(1)は、あてはまる場合をすべて書き出して計算するほうが確実です。

(2)は、×が1回だけの確率はすぐに求められます。問題は×が2回のときです。

「前回と異なる記号が表示される回数」で場合分けをします。1回目2回目が「××」なら、「前回と異なる記号が表示される」のは1回だけです。しかし、「×○」なら、「前回と異なる記号が表示される」のは3回となります。そのため、1回目2回目が「××」か「×○」かで状況が変わってくるので、場合を分けて考えていきます。


解答編

【問題】
 コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの過程に関係なく、pであるとする。

 最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率を$P_n$とする。ただし、記号○がn個出た段階で操作は終了する。

(1) $P_2$をpで表せ。

【解答】
(1)
○が2個出たところで操作が終了するので、×が3個出るより前に○が2個出る場合は、「×○○」「××○○」「×○×○」の3通りしかない。それぞれの確率は、$(1-p)p$、$p(1-p)p$、$(1-p)^3$なので、求める確率は
\begin{eqnarray} & & (1-p)p+(1-p)p^2+(1-p)^3 \\ &=& (1-p)\{ p +p^2 +(1-p)^2\} \\ &=& (1-p)( p +p^2 +p^2-2p+1) \\ &=& (1-p)( 2p^2 -p +1) \\ \end{eqnarray}となる。

【解答終】

【問題】
(2) $n\geqq 3$のとき、$P_n$をpnで表せ。

【解答】
(2)
(A)2回目以降すべて○の場合、(B)2回目が×で3回目以降がすべて○の場合、(C)3回目からn+1回目までの間で1回×で他はすべて○の場合、の3つの場合を考えればよい。

(A)2回目以降すべて○の場合
2回目が○になる確率は、$1-p$。$2 \leqq i \leqq n$のとき、i回目が○のときに$i+1$回目も○になる確率はp。よって、こうなる確率は、$(1-p)p^{n-1}$。

(B)2回目が×で3回目以降がすべて○の場合
2回目が×になる確率は、$p$。このとき、3回目が○になる確率は、$1-p$。$3 \leqq i \leqq n+1$のとき、i回目が○のときに$i+1$回目も○になる確率はp。よって、こうなる確率は、$p(1-p)p^{n-1}=(1-p)p^n$。

(C)3回目からn+1回目までの間で1回×で他はすべて○の場合
3回目以降で×となるのがk回目であるとする。

$1 \leqq i \leqq n+1$のとき、$i$番目と$i+1$番目に表示された記号を並べると、「×○」となるのが2回、「○×」となるのが1回、「○○」は$n-2$回となる。よって、$k$回目が×となる確率は、$(1-p)^3p^{n-2}$となる。

kがとり得る値は、$3 \leqq k \leqq n+1$の$n-1$通りであるため、(C)が起こる確率は、$(n-1)(1-p)^3p^{n-2}$となる。

(A)~(C)より、求める確率は、
\begin{eqnarray} & & (1-p)p^{n-1} +(1-p)p^n +(n-1)(1-p)^3p^{n-2} \\ &=& p^{n-2}(1-p) \{ p +p^2 +(n-1)(1-p)^2 \} \\ &=& p^{n-2}(1-p) \{ p +p^2 +n(p^2-2p+1)-p^2+2p-1 \} \\ &=& p^{n-2}(1-p) \{ np^2 +(-2n+3)p +n-1 \} \\ \end{eqnarray}となる。

【解答終】

【解説】
まず×が1回か2回かで場合分けが必要です。次に、2回目が○か×かでも場合分けが必要です。これによって、「○×」や「×○」と続く回数が異なってくるからです。(2)を解くときに(1)を参考にしながら解くと、場合分けしやすいです。

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