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東京大学 理系 2006年度 第1問 解説

問題編

【問題】
 Oを原点とする座標平面上の4点$\mathrm{ P }_1$、$\mathrm{ P }_2$、$\mathrm{ P }_3$、$\mathrm{ P }_4$で、条件\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OP }_{n-1} } + \overrightarrow{ \mathrm{ OP }_{n+1} } = \frac{3}{2} \overrightarrow{ \mathrm{ OP }_n } \quad (n=2,3) \]を満たすものを考える。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\mathrm{ P }_1$、$\mathrm{ P }_2$が曲線$xy=1$上にあるとき、$\mathrm{ P }_3$はこの曲線上にはないことを示せ。

(2) $\mathrm{ P }_1$、$\mathrm{ P }_2$、$\mathrm{ P }_3$が円周$x^2+y^2=1$上にあるとき、$\mathrm{ P }_4$もこの円周上にあることを示せ。

【考え方】
条件がベクトルで与えられていますが、ベクトルのまま扱うのはやめたほうがいいです。曲線の式が与えられているので、座標で考えるのがいいでしょう。計算自体は難しくありません。

(2)は条件を使って計算するだけです。(1)は$xy \ne 1$を言わないといけないので、計算するだけではいけません。(2)より(1)の方が解きにくい問題です。


解答編

【問題】
 Oを原点とする座標平面上の4点$\mathrm{ P }_1$、$\mathrm{ P }_2$、$\mathrm{ P }_3$、$\mathrm{ P }_4$で、条件\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OP }_{n-1} } + \overrightarrow{ \mathrm{ OP }_{n+1} } = \frac{3}{2} \overrightarrow{ \mathrm{ OP }_n } \quad (n=2,3) \]を満たすものを考える。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\mathrm{ P }_1$、$\mathrm{ P }_2$が曲線$xy=1$上にあるとき、$\mathrm{ P }_3$はこの曲線上にはないことを示せ。

【解答】
$n=1,2,3,4$に対し、$\mathrm{ P }_n$の座標を$(x_n,y_n)$とする。このとき、条件は
\begin{eqnarray} x_{n-1} +x_{n+1} = \frac{3}{2}x_n \\[5pt] y_{n-1} +y_{n+1} = \frac{3}{2}y_n \end{eqnarray}と言い換えられる$(n=2,3)$。

仮定より、$i=1,2$に対し、$x_iy_i=1$が成り立つ。

また、
\begin{eqnarray} x_3y_3 &=& \left( \frac{3}{2}x_2-x_1 \right) \left( \frac{3}{2}y_2-y_1 \right) \\[5pt] &=& \frac{9}{4}x_2y_2 +x_1y_1 -\frac{3}{2} ( x_1y_2 +x_2y_1 ) \\[5pt] &=& \frac{13}{4} -\frac{3}{2} ( x_1y_2 +x_2y_1 ) \quad \cdots (A) \end{eqnarray}となる。

ここで、$x_1$と$y_1$、$x_2$と$y_2$はそれぞれ同符号であるから、$x_1$と$x_2$が異符号であれば、(A)は$\frac{13}{4}$より大きくなるので、1になることはない。

また、$x_1$と$x_2$が同符号であれば、$x_1y_2$と$x_2y_2$は同符号なので、相加相乗平均の関係から
\begin{eqnarray} & & \frac{13}{4} -\frac{3}{2} ( x_1y_2 +x_2y_1 ) \\[5pt] & \leqq & \frac{13}{4} -\frac{3}{2} \cdot 2\sqrt{x_1y_2x_2y_1} \\[5pt] &=& \frac{13}{4} -\frac{3}{2} \cdot 2 \\[5pt] &=& \frac{1}{4} \end{eqnarray}となり、(A)が1になることはない。

よって、$x_3y_3$が1となることはないので、$\mathrm{ P }_3$は曲線$xy=1$上にはない。

【解答終】

【問題】
(2) $\mathrm{ P }_1$、$\mathrm{ P }_2$、$\mathrm{ P }_3$が円周$x^2+y^2=1$上にあるとき、$\mathrm{ P }_4$もこの円周上にあることを示せ。

【解答】
仮定より、$i=1,2$に対し、$x_i^2+y_i^2=1$が成り立つ。

また、$\mathrm{ P }_3$も円周$x^2+y^2=1$上にあるので
\begin{eqnarray} \left( \frac{3}{2}x_2-x_1 \right)^2 +\left( \frac{3}{2}y_2-y_1 \right)^2 &=& 1 \\[5pt] \frac{9}{4} -2\cdot\frac{3}{2}(x_1x_2+y_1y_2) +1 &=& 1 \\[5pt] x_1x_2+y_1y_2 &=& \frac{3}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。

このとき、
\begin{eqnarray} x_4^2 +y_4^2 &=& \left( \frac{3}{2}x_3-x_2 \right)^2 +\left( \frac{3}{2}y_3-y_2 \right)^2 \\[5pt] &=& \left( \frac{9}{4}x_2-\frac{3}{2}x_1-x_2 \right)^2 +\left( \frac{9}{4}y_2-\frac{3}{2}y_1-y_2 \right)^2 \\[5pt] &=& \left( \frac{5}{4}x_2-\frac{3}{2}x_1 \right)^2 +\left( \frac{5}{4}y_2-\frac{3}{2}y_1 \right)^2 \\[5pt] &=& \frac{25}{16} -2\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2}(x_1x_2+y_1y_2) +\frac{9}{4} \\[5pt] &=& \frac{25}{16} -2\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{4} +\frac{9}{4} \\[5pt] &=& \frac{25-45+36}{16} \\[5pt] &=& 1 \end{eqnarray}が成り立つので、$\mathrm{ P }_4$も円周$x^2+y^2=1$上にある。

【解答終】

【解説】
(1)は$xy=1$を使うために、座標で考えたほうがやりやすいです。値をとらないことを言うために、上の解答では相加相乗平均を使いましたが、他のやり方もいろいろ考えられます。

(2)は座標で考えなくても、ベクトルのまま処理することはできます。内積を使うことになりますが、上の解答と似たような流れになります。

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