東京大学 文系 2019年度 第3問 解説

問題編

問題

　正八角形の頂点を反時計回りに A, B, C, D, E, F, G, H とする。また、投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ のコインがある。
　点 P が最初に点 A にある。次の操作を10回繰り返す。

　操作：コインを投げ、表が出れば点 P を反時計回りに隣接する頂点に移動させ、裏が出れば点 P を時計回りに隣接する頂点に移動させる。

例えば、点 P が点 H にある状態で、投げたコインの表が出れば点 A に移動させ、裏が出れば点 G に移動させる。

　以下の事象を考える。

　事象 S：操作を10回行った後に点 P が点 A にある。

　事象 T：1回目から10回目の操作によって、点 P は少なくとも1回、点 F に移動する。

(1) 事象 S が起こる確率を求めよ。

(2) 事象 S と事象 T がともに起こる確率を求めよ。

考え方

(1)は標準的な問題でしょう。表が何回出るか、で場合分けをして計算します。

(2)は、(1)の場合分けをさらに分けて考えていきます。場合分けの仕方はいろいろやり方はあるでしょう。数が少ないケースでは、頑張って計算せずに書き出してしまった方が安全かもしれません。どのような事象を考えればいいかはわかりやすいですが、対応するすべてのケースを漏らさずにノーミスで計算するのはなかなか大変かもしれません。

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解答編

問題

　正八角形の頂点を反時計回りに A, B, C, D, E, F, G, H とする。また、投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ のコインがある。
　点 P が最初に点 A にある。次の操作を10回繰り返す。

　操作：コインを投げ、表が出れば点 P を反時計回りに隣接する頂点に移動させ、裏が出れば点 P を時計回りに隣接する頂点に移動させる。

例えば、点 P が点 H にある状態で、投げたコインの表が出れば点 A に移動させ、裏が出れば点 G に移動させる。

　以下の事象を考える。

　事象 S：操作を10回行った後に点 P が点 A にある。

　事象 T：1回目から10回目の操作によって、点 P は少なくとも1回、点 F に移動する。

(1) 事象 S が起こる確率を求めよ。

解答

(1)
事象 S が起こるのは、反時計回りに1周する場合、時計回りに1周する場合、どちらでもない場合、の3つの場合がある。それぞれ、
　(a) 表が9回、裏が1回
　(b) 表が1回、裏が9回
　(c) 表が5回、裏が5回
の場合である。

(a)となるコインの出方は\[ {}_{10} \mathrm{ C }_{9}=10 \]通りである。(b)も同様に10通りである。(c)は\[ {}_{10} \mathrm{ C }_{5}=252 \]通りである。

以上から、 S が起こる確率は\[ \frac{10+10+252}{2^{10} }=\frac{272}{2^{10} }=\frac{17}{64} \]となる。

（(1)終）

解答編 つづき

問題

(2) 事象 S と事象 T がともに起こる確率を求めよ。

解答

(2)
(1)の(a)(b)のときは、 A から H までのすべての点を1回は通るから、必ず事象 T が起こる。

以下では、(1)の(c)の場合（10回中、表が5回、裏が5回の場合）のみを考え、このときに事象 T が起こる場合の数を考える。

はじめて点 P が点 F に移るとき、その直前に、点 P は
　(c-e) 点 E にいる場合
　(c-g) 点 G にいる場合
の2つの場合がある。

(c-e)が起こるのは、5回目まではすべて表、6回目以降はすべて裏の場合なので、1通りである。

次に、(c-g)が起こる場合を考える。はじめて点 P が点 F に到達する場合で分けて考える。点 A と点 F は奇数個だけ離れており、移動するのに3回は必要なので、
　(c-g3) 3回目で初めて到達する場合
　(c-g5) 5回目で初めて到達する場合
　(c-g7) 7回目で初めて到達する場合
の3つの場合がある。

(c-g3) はじめの3回はすべて裏、残り7回のうち2回が裏であればよいので、こうなる場合の数は\[ {}_{3} \mathrm{ C }_{3} \times {}_{7} \mathrm{ C }_{2}=21 \]通りである。

(c-g5) はじめの5回については、裏が4回出る場合から、3回目で初めて到達する場合、つまり、「3回連続裏、その後の2回のうち裏が1回」の場合を除いたものとなる。残り5回については、裏が1回出ればよいので
\begin{eqnarray} & & ({}_{5} \mathrm{ C }_{4}-{}_{3} \mathrm{ C }_{3} \times {}_{2} \mathrm{ C }_{1}) \times {}_{5} \mathrm{ C }_{1} \\[5pt] &=& (5-2) \times 5 \\[5pt] &=& 15 \end{eqnarray}通りとなる。

(c-g7) はじめの7回については、裏が5回出る場合から、3回目で初めて到達する場合と5回目で初めて到達する場合を除いたものとなる。

はじめの7回で裏が5回出る場合のうち、3回目で初めて到達する場合は、「3回連続裏、その後の4回のうち裏が2回」の場合である。

はじめの7回で裏が5回出る場合のうち、5回目で初めて到達する場合は、「はじめの5回中4回裏（3回連続裏でその後の2回のうち裏が1回の場合は除く）、その後の2回のうち裏が1回」の場合である。

残りの3回はすべて裏なので1通りだから
\begin{eqnarray} & & {}_{7} \mathrm{ C }_{5} -{}_{3} \mathrm{ C }_{3} \times {}_{4} \mathrm{ C }_{2} -({}_{5} \mathrm{ C }_{4}-{}_{3} \mathrm{ C }_{3}\times {}_{2} \mathrm{ C }_{1}) \times {}_{2} \mathrm{ C }_{1} \\[5pt] &=& 21-6-(5-2)\times 2 \\[5pt] &=& 9 \end{eqnarray}通りとなる。

以上から、(1)の(a)(b)、(2)の(c-e)、(c-g3)(c-g5)(c-g7)をすべて合わせたものが、事象 S, T がともに起こる場合なので、これが起こる確率は
\begin{eqnarray} \frac{10+10+1+21+15+9}{2^{10} }=\frac{66}{2^{10} }=\frac{33}{512} \end{eqnarray}となる。

（(2)終）