東京大学 文系 2018年度 第4問 解説

問題編

問題

 放物線 $y=x^2$ のうち $-1\leqq x \leqq 1$ をみたす部分を C とする。座標平面上の原点 O と点 $\mathrm{ A }(1,0)$ を考える。

(1) 点 PC 上を動くとき、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }=2\overrightarrow{ \mathrm{ OP } } \]を満たす点 Q の軌跡を求めよ。

(2) 点 PC 上を動き、点 R が線分 OA 上を動くとき、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OS } }=2\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }+\overrightarrow{ \mathrm{ OR } } \]をみたす点 S が動く領域を座標平面上に図示し、その面積を求めよ。

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考え方

(1)は、 $\mathrm{ Q }(x,y)$ として、 $x,y$ が成り立つ式を考えればいいですね。

(2)は、式で考えるよりも、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OR } }$ が加わった影響を考える方がいいでしょう。図形は対称性があるので、片方だけを計算します。