東京大学 文系 2018年度 第3問 解説

問題編

問題

 $a\gt 0$ とし、\[ f(x)=x^3-3a^2x \]とおく。

(1) $x\geqq 1$ で $f(x)$ が単調に増加するための、 a についての条件を求めよ。

(2) 次の2条件をみたす点 $(a,b)$ の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

 条件1:方程式 $f(x)=b$ は相異なる3実数解をもつ。
 条件2:さらに、方程式 $f(x)=b$ の解を $\alpha\lt \beta\lt \gamma$ とすると $\beta\gt 1$ である。

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考え方

(1)は、微分をして増減表をかいて考えます。

(2)の条件1はよく見る条件ですね。条件2は、増減表を使い、グラフがどうやっていたらいいかを考えながら、満たすべき条件式を考えていきましょう。