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東京大学 文系 2018年度 第2問 解説

問題編

問題

 数列 $a_1,a_2,\cdots$ を\[ a_n=\frac{ {}_{2n} \mathrm{ C }_n}{n!}\quad(n=1,2,\cdots) \]で定める。

(1) $a_7$ と $1$ の大小を調べよ。

(2) $n\geqq 2$ とする。 $\dfrac{a_n}{a_{n-1} }\lt 1$ をみたす n の範囲を求めよ。

(3) $a_n$ が整数となる $n\geqq 1$ をすべて求めよ。

考え方

(1)は計算するだけです。

(2)は少し実験してから予想しましょう。階乗を使って二項係数を変形していきましょう。値はどんどん小さくなることがわかります。

(3)は、(1)(2)を用います。(1)や(2)で、1との大小を比較していましたが、これらを使うと、 n が大きくなると $a_n$ は整数にならないことが示せます。


解答編

問題

 数列 $a_1,a_2,\cdots$ を\[ a_n=\frac{ {}_{2n} \mathrm{ C }_n}{n!}\quad(n=1,2,\cdots) \]で定める。

(1) $a_7$ と $1$ の大小を調べよ。

(2) $n\geqq 2$ とする。 $\dfrac{a_n}{a_{n-1} }\lt 1$ をみたす n の範囲を求めよ。

(3) $a_n$ が整数となる $n\geqq 1$ をすべて求めよ。

解答

(1)
\begin{eqnarray} a_7 &=& \frac{ {}_{14}\mathrm{ C }_7}{7!} \\[5pt] &=& \frac{14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{(7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)^2} \\[5pt] &=& \frac{14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot2}{(7\cdot6\cdot5\cdot4)^2} \\[5pt] &=& \frac{14\cdot13\cdot3\cdot11\cdot5}{(7\cdot6\cdot5)^2} \\[5pt] &=& \frac{14\cdot13\cdot3\cdot11\cdot5}{7\cdot6\cdot5\cdot7\cdot6\cdot5} \\[5pt] &=& \frac{13\cdot11}{7\cdot6\cdot5} \\[5pt] &=& \frac{143}{210} \\[5pt] &\lt& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 $a_7 \lt 1$ である。

(2)
\begin{eqnarray} {}_{2n} \mathrm{ C }_n=\frac{(2n)!}{n!n!} \end{eqnarray}なので \begin{eqnarray} \frac{a_n}{a_{n-1} } &=& \frac{(2n)!}{n!n!n!} \times \frac{(n-1)!(n-1)!(n-1)!}{(2n-2)!} \\[5pt] &=& \frac{2n(2n-1)}{n^3} \\[5pt] &=& \frac{2(2n-1)}{n^2} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

$n=2$ のとき、\[ \frac{a_2}{a_1}=\frac{2(2\cdot2-1)}{2^2}=\frac{3}{2}\gt 1 \]となる。 $n=3$ のときは、\[ \frac{a_3}{a_2}=\frac{2(2\cdot3-1)}{3^2}=\frac{10}{9}\gt 1 \]となる。

$n \geqq 4$ のときは
\begin{eqnarray} \frac{a_n}{a_{n-1} } &=& \frac{2(2n-1)}{n^2} \\[5pt] &\leqq& \frac{2(2n-1)}{4n} \\[5pt] &=& \frac{4n-2}{4n} \\[5pt] &\lt& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

よって、 $\dfrac{a_n}{a_{n-1} }\lt 1$ を満たす n の範囲は $n\geqq 4$ となる、

(3)
$a_1$ から $a_3$ までを順番に調べる。
\begin{eqnarray} a_1 &=& \frac{ {}_2 \mathrm{ C }_1}{1!} = 2 \\[5pt] a_2 &=& \frac{ {}_4 \mathrm{ C }_2}{2!} = 3 \\[5pt] a_3 &=& \frac{ {}_6 \mathrm{ C }_3}{3!} = \frac{10}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

${}_8 \mathrm{ C }_4$ は $3$ で割り切れないため、 $4!$ で割り切れないから、 $a_4$ は整数ではない。

${}_{10} \mathrm{ C }_5$ は $5$ で割り切れないため、 $5!$ で割り切れないから、 $a_5$ は整数ではない。

${}_{12} \mathrm{ C }_6$ は $9$ で割り切れないため、 $6!$ で割り切れないから、 $a_6$ は整数ではない。

また、(1)より、 $a_7$ は $1$ より小さい正の数なので、整数ではない。

(2)より、 $n\gt 7$ のときは
\begin{eqnarray} a_n &=& a_7\times \frac{a_8}{a_7} \times \cdots \times \frac{a_n}{a_{n-1} } \\[5pt] &\lt& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}だから、 $1$ より小さい正の数なので、整数ではない。

以上から、 $a_n$ が整数となる n は $n=1,2$ となる。

(終)

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