東京大学 文系 2018年度 第2問 解説

問題編

問題

 数列 $a_1,a_2,\cdots$ を\[ a_n=\frac{ {}_{2n} \mathrm{ C }_n}{n!}\quad(n=1,2,\cdots) \]で定める。

(1) $a_7$ と $1$ の大小を調べよ。

(2) $n\geqq 2$ とする。 $\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\lt 1$ をみたす n の範囲を求めよ。

(3) $a_n$ が整数となる $n\geqq 1$ をすべて求めよ。

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考え方

(1)は計算するだけです。

(2)は少し実験してから予想しましょう。階乗を使って二項係数を変形していきましょう。値はどんどん小さくなることがわかります。

(3)は、(1)(2)を用います。(1)や(2)で、1との大小を比較していましたが、これらを使うと、 n が大きくなると $a_n$ は整数にならないことが示せます。