東京大学 文系 2018年度 第1問 解説

問題編

問題

 座標平面上に放物線 C を\[ y=x^2-3x+4 \]で定め、領域 D を\[ y\geqq x^2-3x+4 \]で定める。原点をとおる2直線 l, mC に接するものとする。

(1) 放物線 C 上を動く点 A と直線 l, m の距離をそれぞれ L, M とする。 $\sqrt{L}+\sqrt{M}$ が最小値をとるときの点 A の座標を求めよ。

(2) 次の条件をみたす点 $\mathrm{ P }(p,q)$ の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

 条件:領域 D のすべての点 $(x,y)$ に対し不等式 $px+qy\leqq 0$ が成り立つ。

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考え方

(1)は、はじめはよくわからないですが、計算していくと $\sqrt{L}+\sqrt{M}$ が考えやすい式になることがわかります。グラフをかくのも、それほど大変ではありません。

(2)は、 $\dfrac{y}{x}$ と $\dfrac{q}{p}$ に分けて考えたほうがわかりやすいと思います。l, m の式から $\dfrac{y}{x}$ のとり得る値がわかるので、これを利用しましょう。