東京大学 文系 2018年度 第1問 解説

問題編

問題

　座標平面上に放物線 C を\[ y=x^2-3x+4 \]で定め、領域 D を\[ y\geqq x^2-3x+4 \]で定める。原点をとおる2直線 l, m は C に接するものとする。

(1) 放物線 C 上を動く点 A と直線 l, m の距離をそれぞれ L, M とする。 $\sqrt{L}+\sqrt{M}$ が最小値をとるときの点 A の座標を求めよ。

(2) 次の条件をみたす点 $\mathrm{ P }(p,q)$ の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

　条件：領域 D のすべての点 $(x,y)$ に対し不等式 $px+qy\leqq 0$ が成り立つ。

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総合的研究 数学I+A

教科書や従来の参考書では、いろいろ書かれているわりに、読者が一番知りたい肝心なことは省かれている傾向があります。本書は、ここを重点的に丁寧に解説しました。ですから、しっかり読んでもらえばスムーズに理解してもらえるはずです。本書は気楽に読めて即効的な力がつくことを謳うものではありません。しっかり読む人に、数学的な心と考えること理解することの喜びと力を伝えるものです。

著者: 長岡 亮介
出版社: 旺文社
発売日: 2012/09/23
752ページ

考え方

(1)は、はじめはよくわからないですが、計算していくと $\sqrt{L}+\sqrt{M}$ が考えやすい式になることがわかります。グラフをかくのも、それほど大変ではありません。

(2)は、 $\dfrac{y}{x}$ と $\dfrac{q}{p}$ に分けて考えたほうがわかりやすいと思います。l, m の式から $\dfrac{y}{x}$ のとり得る値がわかるので、これを利用しましょう。