東京大学 文系 2018年度 第3問 解説

解答編

問題

 $a\gt 0$ とし、\[ f(x)=x^3-3a^2x \]とおく。

(1) $x\geqq 1$ で $f(x)$ が単調に増加するための、 a についての条件を求めよ。

(2) 次の2条件をみたす点 $(a,b)$ の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

 条件1:方程式 $f(x)=b$ は相異なる3実数解をもつ。
 条件2:さらに、方程式 $f(x)=b$ の解を $\alpha\lt \beta\lt \gamma$ とすると $\beta\gt 1$ である。

解答

(1)
\[ f'(x)=3x^2-3a^2=3(x-a)(x+a) \]なので、 $f'(x)=0$ とすると、 $x=\pm a$ となる。 $a\gt 0$ なので、増減表は以下のようになる。
\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -a & \cdots & a & \cdots \\
\hline
f'(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 2a^3 & \searrow & -2a^3 & \nearrow
\end{array}増減表より、 $x\geqq 1$ で $f(x)$ が単調に増加するための条件は、 $0\lt a\leqq 1$ であることがわかる。

(2)
$g(x)=f(x)-b$ とする。 $g'(x)=3x^2-3a^2$ であり、 $g'(x)=0$ とすると $x=\pm a$ である。よって、増減表は次の通りとなる。
\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -a & \cdots & a & \cdots \\
\hline
g’ & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
g & \nearrow & 2a^3-b & \searrow & -2a^3-b & \nearrow
\end{array}$f(x)=b$ が相異なる3つの実数解をもつことは、 $g(x)=0$ が相異なる3つの実数解をもつことと同値である。よって、条件1を満たすには、増減表より、 $g(x)$ の極大値が正で、極小値が負であるときに限るので、 $-2a^3\lt b \lt 2a^3$ のときであることがわかる。

以下では、条件1を満たすとして、条件2を満たすための条件を考える。

極大値が正で極小値が負なので、 $g(x)=0$ の解を $\alpha\lt \beta\lt \gamma$ とすると、 $-a\lt \beta \lt a$ となる。よって、 $\beta \gt 1$ となるには、 $a\gt 1$ が必要である。

また、 $g(a)\lt 0$ なので、 $g(1)\gt 0$ であれば、 $\beta \gt 1$ となる。一方、 $g(1)\leqq 0$ であれば、 $1\lt x \lt a$ の範囲で $g(x)$ は狭義単調減少なので、 $\beta \gt 1$ となることはない。

以上から、条件1と2を同時に満たすことは、 $-2a^3\lt b \lt 2a^3$ かつ $a\gt 1$ かつ $g(1)\gt 0$ となることと同値である。

$g(1)=1-3a^2-b$ なので、 $g(1)\gt 0$ は $b\lt 1-3a^2$ と同値である。

ここで、 $a\gt 1$ のとき
\begin{eqnarray}
2a^3-(1-3a^2)
&=&
2a^3+3a^2-1 \\[5pt] &=&
(a+1)^2(2a-1) \\[5pt] &\gt&
0 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 $a\gt 1$ ならば $2a^3 \gt 1-3a^2$ が成り立つ。

以上から、条件1と2を同時に満たすことは、 $-2a^3\lt b \lt 1-3a^2$ かつ $a\gt 1$ となることと同値である。

よって、求める範囲は、以下の斜線部分(境界線上の点は含まない)となる。

(終)