東京大学 文系 2015年度 第4問 解説

解答編

【問題】
 投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインを1枚用意し、次のように左から順に文字を書く。

 コインを投げ、表が出たときは文字列AAを書き、裏が出たときは文字Bを書く。さらに繰り返しコインを投げ、同じ規則に従って、AA, Bをすでにある文字列の右側につなげて書いていく。

 たとえば、コインを5回投げ、その結果が順に表, 裏, 裏, 表, 裏であったとすると、得られる文字列は、\[\mathrm{ AABBAAB }\]となる。このとき、左から4番目の文字はB、5番目の文字はAである。

(1) nを正の整数とする。n回コインを投げ、文字列を作るとき、文字列の左からn番目の文字がAとなる確率を求めよ。

(2) nを2以上の整数とする。n回コインを投げ、文字列を作るとき、文字列の左から$n-1$番目の文字がAで、かつn番目の文字がBとなる確率を求めよ。

【解答】
得られた文字列に対し、表が出て「AA」と書いた部分を、すべて「AA’」に置き換えた新しい文字列を考える。

(1)
新しい文字列の$n$番目の文字がAとなる確率を$p_n$、A’となる確率を$p_n’$と書く。このとき、求める確率は、$p_n+p_n’$である。

$n$番目がAのとき、$n+1$番目がAになる確率は0、A’になる確率は1である。
$n$番目がA’のとき、$n+1$番目がAになる確率は1/2、A’になる確率は0である。
$n$番目がAでもA’でもないとき、$n+1$番目がAになる確率は1/2、A’になる確率は0である。

このことから、次の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
p_{n+1} = \frac{1}{2}(1-p_n), \ \ p_{n+1}’ = p_n
\end{eqnarray}

1つ目の式から、$p_n$は次のように求められる($p_1=1/2$である)。
\begin{eqnarray}
p_{n+1} &=& -\frac{1}{2} p_n + \frac{1}{2} \\[5pt] p_{n+1} – \frac{1}{3} &=& -\frac{1}{2} \left( p_n – \frac{1}{3} \right) \\[5pt] p_n – \frac{1}{3} &=& \left( – \frac{1}{2} \right)^{n-1} \left( p_1 – \frac{1}{3} \right) \\[5pt] p_n &=& \frac{1}{6} \left( – \frac{1}{2} \right)^{n-1} + \frac{1}{3}
\end{eqnarray}

よって、$n$が2以上のときに求める確率は、
\begin{eqnarray}
p_n + p_n’
&=& p_n + p_{n-1}\\
&=& \frac{1}{6} \left( – \frac{1}{2} \right)^{n-1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \left( – \frac{1}{2} \right)^{n-2} + \frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \left( – \frac{1}{2} + 1 \right) \left( – \frac{1}{2} \right)^{n-2} + \frac{2}{3} \\[5pt] &=& \frac{1}{12} \left( – \frac{1}{2} \right)^{n-2} + \frac{2}{3}
= \frac{1}{3} \left( – \frac{1}{2} \right)^n + \frac{2}{3}
\end{eqnarray}

$n=1$のとき、求める確率は1/2であり、このときも上の式は成り立つ。よってこれが求める確率である。

(2)
求める確率は、新しい文字列の$n-1$番目がA’で$n$番目がBになる確率に等しい。$n$が2のとき、こうなる確率は0である。

$n$が3以上のとき、求める確率は次の通りとなる。
\begin{eqnarray}
p_{n-1}’ \cdot \frac{1}{2}
&=& p_{n-2} \cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \left \{ \frac{1}{6} \left( – \frac{1}{2} \right)^{n-3} + \frac{1}{3} \right\} \cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{12} \left( – \frac{1}{2} \right)^{n-3} + \frac{1}{6} \\[5pt] &=& – \frac{2}{3} \left( – \frac{1}{2} \right)^n + \frac{1}{6}
\end{eqnarray}

これは$n$が2のときも成り立つ。よってこれが求める確率である。

【解答終】

【解説】
n番目がAのときに、「AA」の1つ目なのか2つ目なのかで状況が違うことに気付き、場合を分けて考えることができるかどうかがポイントです。文系の問題としては、少し難しいかもしれません。

(1)ができれば、(2)はたいして難しくないでしょう。計算量は、東大の問題としては標準レベルです。