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東京大学 理系 2015年度 第2問 解説

問題編

【問題】
どの目も出る確率が$\displaystyle\frac{1}{6}$のさいころを1つ用意し、次のように左から順に文字を書く。

さいころを投げ、出た目が1, 2, 3のときは文字列AAを書き、4のときは文字Bを、5のときは文字Cを、6のときは文字Dを書く。さらに繰り返しさいころを投げ、同じ規則に従って、AA, B, C, Dをすでにある文字列の右側につなげて書いていく。

たとえば、さいころを5回投げ、その出た目が順に2, 5, 6, 3, 4であったとすると、得られる文字列は、\[\mathrm{AACDAAB}\]となる。このとき、左から4番目の文字はD、5番目の文字はAである。

(1) $n$を正の整数とする。$n$回さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左から$n$番目の文字がAとなる確率を求めよ。

(2) $n$を2以上の整数とする。$n$回さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左から$n-1$番目の文字がAで、かつ$n$番目の文字がBとなる確率を求めよ。

【考え方】
直接確率を求めるのは難しそうです。そういう場合、「$n$回○○したときの××する確率を求める問題」は、数列の問題に持ち込むのがよさそうです。つまり、$n$の場合と$n+1$の場合からうまく漸化式を作って一般項を求める、という方法を考えてみましょう。

仮に$n$番目の文字がAとなる確率が求められたとしましょう。このとき$n+1$番目の文字がAとなる確率をうまく漸化式でかければOKです。

$n$番目がAではなく、$n+1$番目の文字がAとなる場合は、簡単に計算できます。しかし、$n$番目がAで、$n+1$番目の文字もAとなる場合は、ちょっと面倒なことがわかります。というのも、「$n$番目がAとなるとき」のAが、「AA」の1つ目のAなのか2つ目のAなのかで状況が変わるからです。1つ目のAなら、必ず$n+1$番目はAになります。一方、2つ目のAだった場合は、$n+1$番目は1/2の確率でAになります。

このことから、この問題をめんどくさくしている原因は、「AAの1つ目と2つ目が同じ文字」であることがわかります。なので、ちょっと発想の転換で、無理やり別の文字にしてみましょう。つまり、「AA」を「AA'」と書くことにして、$n$番目がAまたはA'となる確率を求めればそれが(1)の答えになります。この方針で解いてみます。


解答編

【問題】
どの目も出る確率が$\displaystyle\frac{1}{6}$のさいころを1つ用意し、次のように左から順に文字を書く。

さいころを投げ、出た目が1, 2, 3のときは文字列AAを書き、4のときは文字Bを、5のときは文字Cを、6のときは文字Dを書く。さらに繰り返しさいころを投げ、同じ規則に従って、AA, B, C, Dをすでにある文字列の右側につなげて書いていく。

たとえば、さいころを5回投げ、その出た目が順に2, 5, 6, 3, 4であったとすると、得られる文字列は、\[\mathrm{AACDAAB}\]となる。このとき、左から4番目の文字はD、5番目の文字はAである。

(1) $n$を正の整数とする。$n$回さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左から$n$番目の文字がAとなる確率を求めよ。

(2) $n$を2以上の整数とする。$n$回さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左から$n-1$番目の文字がAで、かつ$n$番目の文字がBとなる確率を求めよ。

【解答】
得られた文字列に対し、1から3の目が出て「AA」と書いた部分を、すべて「AA'」に置き換えた新しい文字列を考える。

(1)
新しい文字列の$n$番目の文字がAとなる確率を$p_n$、A'となる確率を$p_n'$と書く。このとき、求める確率は、$p_n+p_n'$である。

$n$番目がAのとき、$n+1$番目がAになる確率は0、A'になる確率は1である。
$n$番目がA'のとき、$n+1$番目がAになる確率は1/2、A'になる確率は0である。
$n$番目がAでもA'でもないとき、$n+1$番目がAになる確率は1/2、A'になる確率は0である。

このことから、次の式が成り立つ。
\begin{eqnarray} p_{n+1} = \frac{1}{2}(1-p_n), \ \ p_{n+1}' = p_n \end{eqnarray}

1つ目の式から、$p_n$は次のように求められる($p_1=1/2$である)。
\begin{eqnarray} p_{n+1} &=& -\frac{1}{2} p_n + \frac{1}{2} \\[5pt] p_{n+1} - \frac{1}{3} &=& -\frac{1}{2} \left( p_n - \frac{1}{3} \right) \\[5pt] p_n - \frac{1}{3} &=& \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-1} \left( p_1 - \frac{1}{3} \right) \\[5pt] p_n &=& \frac{1}{6} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-1} + \frac{1}{3} \end{eqnarray}

よって、$n$が2以上のときに求める確率は、
\begin{eqnarray} p_n + p_n' &=& p_n + p_{n-1}\\ &=& \frac{1}{6} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-2} + \frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \left( - \frac{1}{2} + 1 \right) \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-2} + \frac{2}{3} \\[5pt] &=& \frac{1}{12} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-2} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \left( - \frac{1}{2} \right)^n + \frac{2}{3} \end{eqnarray}

$n=1$のとき、求める確率は1/2であり、このときも上の式は成り立つ。よってこれが求める確率である。

(2)
求める確率は、新しい文字列の$n-1$番目がA'で$n$番目がBになる確率に等しい。$n$が2のとき、こうなる確率は0である。

$n$が3以上のとき、求める確率は次の通りとなる。
\begin{eqnarray} p_{n-1}' \cdot \frac{1}{6} &=& p_{n-2} \cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \left \{ \frac{1}{6} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-3} + \frac{1}{3} \right\} \cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{36} \left( - \frac{1}{2} \right)^{n-3} + \frac{1}{18} \\[5pt] &=& - \frac{2}{9} \left( - \frac{1}{2} \right)^n + \frac{1}{18} \end{eqnarray}

これは$n$が2のときも成り立つ。よってこれが求める確率である。

【解答終】

【解説】
n番目がAのときに、「AA」の1つ目なのか2つ目なのかで状況が違うことに気付き、場合を分けて考えることができるかどうかがポイントです。この方針で(1)ができれば、(2)はたいして難しくないでしょう。計算量も、東大の問題としては標準レベルです。

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