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東京大学 理系 2015年度 第5問 解説

問題編

問題

m2015 以下の正の整数とする。 ${}_{2015} \mathrm{C} _m$ が偶数となる最小の m を求めよ。

考え方

でました。2015年度で一番の「何をどうしたらいいのかよくわからない問題」です。

こういう場合は、とりあえず実験してみましょう。$m=1$ の場合から順番に書き出してみます。

${}_{2015} \mathrm{C} _1=2015$ で奇数ですね。
${}_{2015} \mathrm{C} _2 = 2015×2014/2=2015×1007$ で奇数。
${}_{2015} \mathrm{C} _3$は、\[2015×2014×2013/(3×2)=2015×1007×671\]で、やっぱり奇数。

当たり前ですが、奇数ですね。こんなところで偶数になってたら問題にならないですからね。分子に偶数が現れても、分母にある偶数と打ち消し合って、結局奇数になってしまいます

$\displaystyle{}_{2015} \mathrm{C} _m=\frac{2015!}{m!(2015-m)!}$ です。分母分子を $(2015-m)!$ で割ると、分子は、 $2015$ から $(2015-m+1)$ までの $m$ 個の積、分母は $1$ から $m$ までの $m$ 個の積です。

つまり、${}_{2015} \mathrm{C} _m$ と ${}_{2015} \mathrm{C} _{m-1}$ の違いは、分子に $2016-m$ があることと分母に $m$ があることです。上のように順番に ${}_{2015} \mathrm{C} _m$ を見ていった場合、これがはじめて偶数になるのは、 $(2016-m)$ を $2$ で割れる回数が $m$ を $2$ で割れる回数をはじめて上回る時です。

$2$ で割れる回数に着目すればいいので、 $2016=2^5\cdot 63$ 、 $m=2^a\cdot b$ と書いてみます(b は奇数)。すると、 $(2016-m)=2^a(2^{5-a} \cdot 63 - b)$ となります。分母の $m=2^a\cdot b$ は2で a 回割れるので、分子は $a+1$ 回以上割れないといけません。つまり、このカッコの中が偶数になるしかありません。こうなると、もう答えが見えてきます。

ここまでのことをふまえて、解答に仕上げていきます。


解答編

問題

m2015 以下の正の整数とする。 ${}_{2015} \mathrm{C} _m$ が偶数となる最小の m を求めよ。

解答

\begin{eqnarray} {}_{2015} \mathrm{C} _m &=& \frac{2015!}{m!(2015-m)!} \\[5pt] &=& \prod_{k=1}^m \frac{2016-k}{k} \end{eqnarray}である。

ここで、 $k \lt 32$ とし、 $k=2^a\cdot b$ と書く(b は奇数)。このとき $a\lt 5$ となる。
\begin{eqnarray} \frac{2016-k}{k} &=& \frac{2^a(2^{5-a}\cdot 63 - b)}{ 2^a\cdot b } \\[5pt] &=& \frac{2^{5-a}\cdot 63 - b}{ b } \end{eqnarray} ここで、 $2^{5-a}$ は偶数なので、分子は奇数。よって、 $m \lt 32$ のときは、 ${}_{2015} \mathrm{C} _m$ は、奇数/奇数の積なので、偶数になることはない。

$m=32$ とする。このとき
\begin{eqnarray} \frac{2016-32}{32} &=& \frac{2^5(63 - 1)}{ 2^5 } =62 \end{eqnarray} なので、 ${}_{2015} \mathrm{C} _m$ は偶数になる。

よって、求める値は $32$ である。

(解答終)

解説

$2016=2^5\cdot 63$ 、 $m=2^a\cdot b$ と書いたとき(b は奇数)、\[(2016-m)=2^a(2^{5-a} \cdot 63 - b)\]となります。そのため、これを分母の $m=2^a\cdot b$ で割った答えが偶数になるには、このカッコの中が偶数になるしかありません。そうすると、a は5以上でないとダメで、b が一番小さいときは1なので、答えは32とわかります。

このことから、上の解答では、31以下では無理ということ、32では条件をみたすということを示し、32が求める答えである、としています。

$2016-k=2^{11}-2^5-k$ なので、
\begin{eqnarray} {}_{2015} \mathrm{C} _m &=& \prod_{k=1}^m \frac{2^{11}-2^5-k}{k} \end{eqnarray}と書くことができます。 この形をよく見れば、 $k\lt 2^5$ のときは、分母分子で素因数2の個数が一緒で、 $k= 2^5$ のときにはじめて分子が $2^6$ で割り切れることがわかります。つまり、この問題は2015にちなんだ問題と見せかけて、実は2016にちなんだ問題であり、 $2016=2^{11}-2^5$ と書けることがかなり効いていたんですね。

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