東京大学 理系 2015年度 第3問 解説

問題編

【問題】
aを正の実数とし、pを正の有理数とする。

座標平面上の2つの曲線$y=ax^p\ (x \gt 0)$と$y=\log x \ (x \gt 0)$を考える。この2つの曲線の共有点が1点のみであるとし、その共有点をQとする。

以下の問いに答えよ。必要であれば、$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^p}{\log x} = \infty$を証明なしに用いてよい。

(1) aおよび点Qx座標をpを用いて表せ。
(2) この2つの曲線とx軸で囲まれる図形を、x軸のまわりに1回転してできる立体の体積をpを用いて表せ。
(3) (2)で得られる立体の体積が$2\pi$になるときのpの値を求めよ。

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【考え方】
「共有点が1点」という条件しかありませんが、2つの関数のy座標だけでなく、微分係数も等しいという条件が出てくるので、aの値などが求められます。

(2)は計算問題ですが、$\log$の積分は部分積分を使う典型的なもので、それほど難しいわけではありません。(3)にいたっては、何を求めさせたいのかよくわかりません。簡単すぎて、(2)の答えが間違っているんじゃないかと不安になるレベルです。

基本的には、言われるがままに計算していけば解ける内容です。

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