東京大学 文系 2013年度 第2問 解説

問題編

問題

 座標平面上の3点
\begin{eqnarray}
& & \mathrm{P}(0,-\sqrt{2}), \\[5pt] & & \mathrm{Q}(0, \sqrt{2}), \\[5pt] & & \mathrm{A}(a, \sqrt{a^2+1})\quad (0\leqq a\leqq 1)
\end{eqnarray}を考える。

(1) 2つの線分の長さの差 $\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$ は $a$ によらない定数であることを示し、その値を求めよ。

(2) $\mathrm{Q}$ を端点とし $\mathrm{A}$ を通る半直線と放物線 $y=\dfrac{\sqrt{2}}{8}x^2$ との交点を $\mathrm{B}$ とする。点 $\mathrm{B}$ から直線 $y=2$ へ下した垂線と直線 $y=2$ との交点を $\mathrm{C}$ とする。このとき、線分の長さの和\[ \mathrm{PA+AB+BC} \]は $a$ によらない定数であることを示し、その値を求めよ。

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(2020年09月 時点の情報です)

考え方

三平方の定理を使って計算するくらいしかないので、やるべきことはすぐにわかります。しかし、その計算がやたらと大変です。

「定数になる」のだから、値だけを求めるなら簡単です( $a$ にわかりやすい値を入れて求めればいいです)。ただ、答えがわかっても、大したヒントにはなりません。根号の計算を頑張っていくしかありません。

ちなみに、数学IIIをやった人(理系の人など)なら、これは双曲線や放物線と焦点との距離を考えているんだな、ということがわかるでしょう。これらの性質から、問題文にある線分の差や和が一定になることもわかります。ただ、それがわかったとしても、それ自体を計算で示さないといけないのだから、「数学IIIをやっていたから有利」というほどでもないでしょう。

(2)では(1)を使いますが、(2)のほうが根号の計算自体はやさしめです。ただ、はまってしまうポイントもあるので注意です。

$a$ に好きな値を入れて検算ができるので、最後に確認しましょう。

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