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共通テスト 数学II・数学B 2024年度追試 第5問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

 平面上に3点 $\mathrm{O,A,B}$ がある。ただし、 $\mathrm{O,A,B}$ は同一直線上にはないとする。 $\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおく。

 $t$ を $0\lt t\lt 1$ を満たす実数とし、3点 $\mathrm{P,Q,R}$ を以下のように定める。

・線分 $\mathrm{OA}$ を $(1-t):t$ に内分する点を $\mathrm{P}$ とする。
・線分 $\mathrm{OB}$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{Q}$ とする。
・線分 $\mathrm{PQ}$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{R}$ とする。

(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ と $t$ を用いて表すと
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& \dBox{ア} \vec{a} \\[5pt] \overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& \dBox{イ} \vec{b} \\[5pt] \overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& \dBox{ウ} \vec{a}+\dBox{エ} \vec{b} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

 $\dbox{ア}$ ~ $\dbox{エ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $t$
 1: $(t-1)$
 2: $(1-t)$
 3: $(-t)$
 4: $t^2$
 5: $t(1-t)$
 6: $2t(1-t)$
 7: $(1-t)^2$

(2) $\mathrm{O,A,B}$ を図1の位置にとる。 $t=\frac{1}{3}$ のときの $\mathrm{R}$ の位置について、図1における点 $\mathrm{R}_0,\mathrm{R}_1,\cdots,\mathrm{R}_9$ のうち正しいものは $\dBox{オ}$ である。ただし、図1における破線は、 $\mathrm{OA}$ を9等分する点を通り $\mathrm{OB}$ に平行な線分と、 $\mathrm{OB}$ を9等分する点を通り $\mathrm{OA}$ に平行な線分である。また、 $\mathrm{R}_0,\mathrm{R}_1,\cdots,\mathrm{R}_9$ は、いずれもこれらの線分どうしの交点である。

 $\dbox{オ}$ の解答群

 0: $\mathrm{R}_0$
 1: $\mathrm{R}_1$
 2: $\mathrm{R}_2$
 3: $\mathrm{R}_3$
 4: $\mathrm{R}_4$
 5: $\mathrm{R}_5$
 6: $\mathrm{R}_6$
 7: $\mathrm{R}_7$
 8: $\mathrm{R}_8$
 9: $\mathrm{R}_9$

(3) $0^{\circ}\lt \angle \mathrm{AOB}\lt 90^{\circ}$ の場合を考える。 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{a}+\vec{b}$ を満たす点 $\mathrm{C}$ をとる。 $\mathrm{O}$ を通り直線 $\mathrm{OC}$ と垂直に交わる直線を $\ell$ とする。 $t$ が $0\lt t\lt 1$ の範囲を動くとき、 $\mathrm{R}$ と $\ell$ の距離について考えよう。

 直線 $\mathrm{BC}$ と $\ell$ の交点を $\mathrm{D}$ とし、 $k$ を $\mathrm{OA:BD}=1:k$ を満たす正の数とする。

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ を $\vec{a},\vec{b}$ と $k$ を用いて表すと\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dBox{カ} \]である。また、直線 $\mathrm{OC}$ と直線 $\mathrm{OD}$ が垂直に交わることから、 $k=\dBox{キ}$ であることがわかる。

 $\dbox{カ}$ の解答群

 0: $k\vec{a}+\vec{b}$

 1: $k\vec{a}-\vec{b}$

 2: $-k\vec{a}+\vec{b}$

 3: $-k\vec{a}-\vec{b}$

 4: $\vec{a}+k\vec{b}$

 5: $\vec{a}-k\vec{b}$

 6: $-\vec{a}+k\vec{b}$

 7: $-\vec{a}-k\vec{b}$

 $\dbox{キ}$ の解答群

 0: $\dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$

 1: $\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

 2: $\dfrac{|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}$

 3: $\dfrac{-|\vec{a}|^2-\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}$

 4: $\dfrac{|\vec{b}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}$

 5: $\dfrac{-|\vec{b}|^2-\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}$

(ii) $\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$, $\vec{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ とおく。 $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$ を、垂直な二つのベクトル $\vec{c},\vec{d}$ と $k,t$ を用いて表すことを考えよう。まず $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は、 $\vec{c},\vec{d}$ と $k$ を用いると\[ \vec{a}=\dfrac{1}{k+1}\left(\dBox{ク}\right),\ \vec{b}=\dfrac{1}{k+1}\left(\dBox{ケ}\right) \]と表すことができる。

 これから
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& \frac{1}{k+1}\left\{\dBox{コ}t^2-\dBox{サ}t+\dBox{シ}\right\}\vec{c} \\[5pt] & & +\frac{1}{k+1}\left(\dBox{ス}-\dBox{セ}\right)\vec{d} \end{eqnarray}であることがわかる。

 $\dbox{ク},\dbox{ケ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $\vec{c}+\vec{d}$

 1: $\vec{c}-\vec{d}$

 2: $-\vec{c}+\vec{d}$

 3: $k\vec{c}+\vec{d}$

 4: $\vec{c}+k\vec{d}$

 $\dbox{コ}$ ~ $\dbox{セ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $\frac{1}{2}$

 1: $1$

 2: $2$

 3: $k$

 4: $2k$

 5: $(k+1)$

 6: $2(k+1)$

 7: $(k-1)$

 8: $2(k-1)$

(iii) $t$ が $0\lt t\lt 1$ の範囲を動くとき、 $\mathrm{R}$ と $\ell$ の距離が最小になるのは $t=\dBox{ソ}$ のときである。

 $\dbox{ソ}$ の解答群

 0: $\dfrac{1}{2}$

 1: $\dfrac{1}{k-1}$

 2: $\dfrac{2}{k-1}$

 3: $\dfrac{1}{k}$

 4: $\dfrac{2}{k}$

 5: $\dfrac{k-1}{k}$

 6: $\dfrac{1}{k+1}$

 7: $\dfrac{2}{k+1}$

 8: $\dfrac{k-1}{k+1}$

 9: $\dfrac{k}{k+1}$

考え方

(2)は少し目新しいですが、式の形を見て考えましょう。 $\mathrm{R}$ の定義から考えても解けるので、ベクトルの問題と思わずに解くこともできてしまいます。

(3)(ii)は、そこまでに出てきた式を組み合わせて解きましょう。(iii)は、(ii)の答えのどこに注目すればいいかを考えます。なんのためにこのような式で表したのかを考えてみましょう。


【第3問~第5問から2問選択】

解答編

問題

 平面上に3点 $\mathrm{O,A,B}$ がある。ただし、 $\mathrm{O,A,B}$ は同一直線上にはないとする。 $\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおく。

 $t$ を $0\lt t\lt 1$ を満たす実数とし、3点 $\mathrm{P,Q,R}$ を以下のように定める。

・線分 $\mathrm{OA}$ を $(1-t):t$ に内分する点を $\mathrm{P}$ とする。
・線分 $\mathrm{OB}$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{Q}$ とする。
・線分 $\mathrm{PQ}$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{R}$ とする。

(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$, $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ と $t$ を用いて表すと
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& \dBox{ア} \vec{a} \\[5pt] \overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& \dBox{イ} \vec{b} \\[5pt] \overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& \dBox{ウ} \vec{a}+\dBox{エ} \vec{b} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

 $\dbox{ア}$ ~ $\dbox{エ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $t$
 1: $(t-1)$
 2: $(1-t)$
 3: $(-t)$
 4: $t^2$
 5: $t(1-t)$
 6: $2t(1-t)$
 7: $(1-t)^2$

解説

(1)
$\mathrm{P,Q}$ のとりかたから、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\vec{a}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\vec{b}$ がわかります。また、
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& (1-t)\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \\[5pt] &=& (1-t)^2\vec{a}+t^2\vec{b} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

アイ:20 (2点)
ウエ:74 (2点)

解答編 つづき

問題

(2) $\mathrm{O,A,B}$ を図1の位置にとる。 $t=\frac{1}{3}$ のときの $\mathrm{R}$ の位置について、図1における点 $\mathrm{R}_0,\mathrm{R}_1,\cdots,\mathrm{R}_9$ のうち正しいものは $\dBox{オ}$ である。ただし、図1における破線は、 $\mathrm{OA}$ を9等分する点を通り $\mathrm{OB}$ に平行な線分と、 $\mathrm{OB}$ を9等分する点を通り $\mathrm{OA}$ に平行な線分である。また、 $\mathrm{R}_0,\mathrm{R}_1,\cdots,\mathrm{R}_9$ は、いずれもこれらの線分どうしの交点である。

 $\dbox{オ}$ の解答群

 0: $\mathrm{R}_0$
 1: $\mathrm{R}_1$
 2: $\mathrm{R}_2$
 3: $\mathrm{R}_3$
 4: $\mathrm{R}_4$
 5: $\mathrm{R}_5$
 6: $\mathrm{R}_6$
 7: $\mathrm{R}_7$
 8: $\mathrm{R}_8$
 9: $\mathrm{R}_9$

解説

(2)
$t=\frac{1}{3}$ のとき、(1)より\[ \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{4}{9}\vec{a}+\frac{1}{9}\vec{b} \]となります。これより、 $\mathrm{OA}$ を $\frac{4}{9}$ 倍した線分と $\mathrm{OB}$ を $\frac{1}{9}$ 倍した線分とを使った平行四辺形を考えれば、 $\mathrm{R}$ は $\mathrm{R}_1$ にあることがわかります。

解答

オ:1 (3点)

解答編 つづき

問題

(3) $0^{\circ}\lt \angle \mathrm{AOB}\lt 90^{\circ}$ の場合を考える。 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{a}+\vec{b}$ を満たす点 $\mathrm{C}$ をとる。 $\mathrm{O}$ を通り直線 $\mathrm{OC}$ と垂直に交わる直線を $\ell$ とする。 $t$ が $0\lt t\lt 1$ の範囲を動くとき、 $\mathrm{R}$ と $\ell$ の距離について考えよう。

 直線 $\mathrm{BC}$ と $\ell$ の交点を $\mathrm{D}$ とし、 $k$ を $\mathrm{OA:BD}=1:k$ を満たす正の数とする。

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ を $\vec{a},\vec{b}$ と $k$ を用いて表すと\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dBox{カ} \]である。また、直線 $\mathrm{OC}$ と直線 $\mathrm{OD}$ が垂直に交わることから、 $k=\dBox{キ}$ であることがわかる。

 $\dbox{カ}$ の解答群

 0: $k\vec{a}+\vec{b}$

 1: $k\vec{a}-\vec{b}$

 2: $-k\vec{a}+\vec{b}$

 3: $-k\vec{a}-\vec{b}$

 4: $\vec{a}+k\vec{b}$

 5: $\vec{a}-k\vec{b}$

 6: $-\vec{a}+k\vec{b}$

 7: $-\vec{a}-k\vec{b}$

 $\dbox{キ}$ の解答群

 0: $\dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$

 1: $\dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

 2: $\dfrac{|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}$

 3: $\dfrac{-|\vec{a}|^2-\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}$

 4: $\dfrac{|\vec{b}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}$

 5: $\dfrac{-|\vec{b}|^2-\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}$

解説

(3)
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ とかけます。また、 $\mathrm{OA:BD}=1:k$ で、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ は平行で向きが異なるので、 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=-k\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ となります。これらから、\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=-k\vec{a}+\vec{b} \]となることがわかります。

直線 $\mathrm{OC}$ と直線 $\mathrm{OD}$ が垂直に交わるので、 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ も垂直に交わります。なので、内積は $0$ となります。 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{a}+\vec{b}$ なので
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} &=& 0 \\[5pt] (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (-k\vec{a}+\vec{b}) &=& 0 \\[5pt] -k|\vec{a}|^2 +\vec{a}\cdot\vec{b} -k\vec{a}\cdot\vec{b} +|\vec{b}|^2 &=& 0 \\[5pt] -k(|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}) &=& -|\vec{b}|^2-\vec{a}\cdot\vec{b} \\[5pt] k &=& \frac{|\vec{b}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

カ:2 (2点)
キ:4 (2点)

解答編 つづき

問題

(ii) $\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$, $\vec{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ とおく。 $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$ を、垂直な二つのベクトル $\vec{c},\vec{d}$ と $k,t$ を用いて表すことを考えよう。まず $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は、 $\vec{c},\vec{d}$ と $k$ を用いると\[ \vec{a}=\dfrac{1}{k+1}\left(\dBox{ク}\right),\ \vec{b}=\dfrac{1}{k+1}\left(\dBox{ケ}\right) \]と表すことができる。

 これから
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& \frac{1}{k+1}\left\{\dBox{コ}t^2-\dBox{サ}t+\dBox{シ}\right\}\vec{c} \\[5pt] & & +\frac{1}{k+1}\left(\dBox{ス}-\dBox{セ}\right)\vec{d} \end{eqnarray}であることがわかる。

 $\dbox{ク},\dbox{ケ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $\vec{c}+\vec{d}$

 1: $\vec{c}-\vec{d}$

 2: $-\vec{c}+\vec{d}$

 3: $k\vec{c}+\vec{d}$

 4: $\vec{c}+k\vec{d}$

 $\dbox{コ}$ ~ $\dbox{セ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $\frac{1}{2}$

 1: $1$

 2: $2$

 3: $k$

 4: $2k$

 5: $(k+1)$

 6: $2(k+1)$

 7: $(k-1)$

 8: $2(k-1)$

解説

(ii)
$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{d}=-k\vec{a}+\vec{b}$ なので、 $\vec{c}-\vec{d}$ の計算結果を利用すれば
\begin{eqnarray} \vec{c}-\vec{d} &=& \vec{a}+\vec{b}+k\vec{a}-\vec{b} \\[5pt] (k+1)\vec{a} &=& \vec{c}-\vec{d} \\[5pt] \vec{a} &=& \frac{1}{k+1}\left(\vec{c}-\vec{d}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。また、 $k\vec{c}+\vec{d}$ の計算結果を利用すれば \begin{eqnarray} k\vec{c}+\vec{d} &=& k\vec{a}+k\vec{b}-k\vec{a}+\vec{b} \\[5pt] (k+1)\vec{b} &=& k\vec{c}+\vec{d} \\[5pt] \vec{b} &=& \frac{1}{k+1}\left(k\vec{c}+\vec{d}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

(1)より、$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-t)^2\vec{a}+t^2\vec{b}$ なので、これに先ほどの結果を代入すると
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& (1-t)^2\vec{a}+t^2\vec{b} \\[5pt] &=& (1-t)^2\frac{1}{k+1}\left(\vec{c}-\vec{d}\right)+t^2\cdot \frac{1}{k+1}\left(k\vec{c}+\vec{d}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{k+1}\left\{(1-t)^2+t^2k\right\}\vec{c} \\ & & +\frac{1}{k+1}\left\{-(1-t)^2+t^2\right\}\vec{d} \\[5pt] &=& \frac{1}{k+1}\left\{(k+1)t^2-2t+1\right\}\vec{c} \\ & & +\frac{1}{k+1}(2t-1)\vec{d} \\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。

解答

ク:1 (2点)
ケ:3 (2点)
コサシスセ:52121 (3点)

解答編 つづき

問題

(iii) $t$ が $0\lt t\lt 1$ の範囲を動くとき、 $\mathrm{R}$ と $\ell$ の距離が最小になるのは $t=\dBox{ソ}$ のときである。

 $\dbox{ソ}$ の解答群

 0: $\dfrac{1}{2}$

 1: $\dfrac{1}{k-1}$

 2: $\dfrac{2}{k-1}$

 3: $\dfrac{1}{k}$

 4: $\dfrac{2}{k}$

 5: $\dfrac{k-1}{k}$

 6: $\dfrac{1}{k+1}$

 7: $\dfrac{2}{k+1}$

 8: $\dfrac{k-1}{k+1}$

 9: $\dfrac{k}{k+1}$

解説

(iii)

$\mathrm{R}$ から $\ell$ に下した垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、 $\mathrm{R}$ と $\ell$ の距離の最小値は $\mathrm{RH}$ です。 $\mathrm{RH}$ は $\mathrm{OC}$ と平行なので、(ii) の結果の $\vec{c}$ の係数の絶対値の最小値と一致します。つまり、 $\mathrm{R}$ と $\ell$ の距離が最小になる場合を考えるには、(ii) の結果の $\vec{c}$ の係数について考えればいいことがわかります。

係数の部分を計算すると
\begin{eqnarray} & & \frac{1}{k+1} \{ (k+1)t^2-2t+1 \} \\[5pt] &=& t^2-\frac{2}{k+1}t+\frac{1}{k+1} \\[5pt] &=& \left(t-\frac{1}{k+1}\right)^2-\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{1}{k+1} \\[5pt] &=& \left(t-\frac{1}{k+1}\right)^2+\frac{-1+(k+1)}{(k+1)^2} \\[5pt] &=& \left(t-\frac{1}{k+1}\right)^2+\frac{k}{(k+1)^2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。この値はつねに正で、 $t=\dfrac{1}{k+1}$ のときに最小となることがわかります。また、 $k$ は正の数なので、 $0\lt \dfrac{1}{k+1} \lt 1$ であることがわかります。

よって、 $\mathrm{R}$ と $\ell$ の距離が最小になるのは、 $t=\dfrac{1}{k+1}$ のときだとわかります。

解答

ソ:6 (2点)

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