共通テスト 数学II・数学B 2024年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　花子さんは、三角関数の表を見て、角 $\theta$ が $90^{\circ}$ に近づくときの $\tan\theta$ の値の変化に興味をもった。なお、表１は三角関数の表の一部である。

表１

$\theta$	$\tan\theta$
$\vdots$	$\vdots$
$81^{\circ}$	$6.3138$
$82^{\circ}$	$7.1154$
$83^{\circ}$	$8.1443$
$\vdots$	$\vdots$
$89^{\circ}$	$57.2900$
$90^{\circ}$	―

　そこで、 $0\lt x \lt\dfrac{\pi}{4}$ を満たす $x$ に対して、 $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)$ と $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ の値を比較してみることにした。

(1) $\tan 2x=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=\dfrac{\dBox{タ}}{\cos^2x-\sin^2x}$ より、分母と分子をそれぞれ $\cos^2 x$ で割ると、\[ \tan 2x=\dBox{チ} \]となる。さらに、 $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$ を満たす $\alpha$ に対して、 $\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{1}{\tan\alpha}$ が成り立つことから、 $\dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$ は $\tan x$ を用いて\[ \dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} =\dBox{ツ} \quad \cdots ① \]と表せる。

　$\dbox{タ}$ の解答群

　0: $\sin x$
　1: $\cos x$
　2: $2\sin x$
　3: $2\cos x$
　4: $\sin^2 x$
　5: $2\sin^2 x-1$
　6: $\cos^2 x$
　7: $2\cos^2 x-1$
　8: $2\sin x\cos x$

　$\dbox{チ},\ \dbox{ツ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $2\tan x$

　1: $\dfrac{1}{2\tan x}$

　2: $\tan^2 x$

　3: $\dfrac{1}{\tan^2 x}$

　4: $\dfrac{1+\tan^2 x}{2}$

　5: $\dfrac{2}{1+\tan^2 x}$

　6: $\dfrac{1-\tan^2 x}{2}$

　7: $\dfrac{2}{1-\tan^2 x}$

　8: $\dfrac{1+\tan^2 x}{2\tan x}$

　9: $\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$

　a: $\dfrac{1-\tan^2 x}{2\tan x}$

　b: $\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$

(2) ① から、 $0\lt x\lt \frac{\pi}{4}$ のとき $\dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$ のとり得る値の範囲は\[ \dBox{テ} \lt \dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} \lt \dBox{ト} \quad\cdots ② \]

　$\dBox{テ},\ \dBox{ト}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $0$
　1: $1$
　2: $2$
　3: $3$
　4: $4$

　5: $\frac{1}{2}$

　6: $\frac{1}{3}$

　7: $\frac{1}{4}$

(3) 花子さんは、表１に載っていない $\tan 89.5^{\circ}$ の値を、②を用いて調べることにした。

　$0\lt x \lt\frac{\pi}{4}$ のとき、 $\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\tan 89^{\circ}$ を満たす $x$ は\[ x=\dfrac{\pi}{\myBox{ナニヌ}} \]である。

　花子さんは、表１を参考にして、 $\tan 89^{\circ}=57.29$ とした。②を用いると $\tan 89.5^{\circ}$ の値は $\dBox{ネ}$ であることがわかる。

　$\dbox{ネ}$ の解答群

　0: 30未満
　1: 30以上 40未満
　2: 40以上 50未満
　3: 50以上 60未満
　4: 60以上 70未満
　5: 70以上 80未満
　6: 80以上 90未満
　7: 90以上 100未満
　8: 100以上 110未満
　9: 110以上

考え方

前半は $\tan$ の倍角の公式です。中盤ではよくわからない分数の値を考えますが、これを使えば終盤の問題が使えるようになります。「これを使う」というのはすぐにわかるので、どう使えば知りたいことができるかはわかりやすいでしょう。

【必答問題】

解答編

問題

　花子さんは、三角関数の表を見て、角 $\theta$ が $90^{\circ}$ に近づくときの $\tan\theta$ の値の変化に興味をもった。なお、表１は三角関数の表の一部である。

表１

$\theta$	$\tan\theta$
$\vdots$	$\vdots$
$81^{\circ}$	$6.3138$
$82^{\circ}$	$7.1154$
$83^{\circ}$	$8.1443$
$\vdots$	$\vdots$
$89^{\circ}$	$57.2900$
$90^{\circ}$	―

　そこで、 $0\lt x \lt\dfrac{\pi}{4}$ を満たす $x$ に対して、 $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)$ と $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ の値を比較してみることにした。

(1) $\tan 2x=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=\dfrac{\dBox{タ}}{\cos^2x-\sin^2x}$ より、分母と分子をそれぞれ $\cos^2 x$ で割ると、\[ \tan 2x=\dBox{チ} \]となる。さらに、 $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$ を満たす $\alpha$ に対して、 $\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{1}{\tan\alpha}$ が成り立つことから、 $\dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$ は $\tan x$ を用いて\[ \dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} =\dBox{ツ} \quad \cdots ① \]と表せる。

　$\dbox{タ}$ の解答群

　0: $\sin x$
　1: $\cos x$
　2: $2\sin x$
　3: $2\cos x$
　4: $\sin^2 x$
　5: $2\sin^2 x-1$
　6: $\cos^2 x$
　7: $2\cos^2 x-1$
　8: $2\sin x\cos x$

　$\dbox{チ},\ \dbox{ツ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $2\tan x$

　1: $\dfrac{1}{2\tan x}$

　2: $\tan^2 x$

　3: $\dfrac{1}{\tan^2 x}$

　4: $\dfrac{1+\tan^2 x}{2}$

　5: $\dfrac{2}{1+\tan^2 x}$

　6: $\dfrac{1-\tan^2 x}{2}$

　7: $\dfrac{2}{1-\tan^2 x}$

　8: $\dfrac{1+\tan^2 x}{2\tan x}$

　9: $\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$

　a: $\dfrac{1-\tan^2 x}{2\tan x}$

　b: $\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$

解説

(1)
倍角の公式より、 $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$ なので\[ \tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2 x-\sin^2 x} \]となります。分母・分子を $\cos^2 x$ で割ると
\begin{eqnarray} \tan 2x &=& \frac{2\sin x\cos x}{\cos^2 x-\sin^2 x} \\[5pt] &=& \frac{\frac{2 \sin x\cos x}{\cos^2x}}{1-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} \\[5pt] &=& \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。なお、これは、 $\tan$ の倍角の公式そのままです。

また、問題文にあるように $0\lt \alpha\lt\frac{\pi}{2}$ のとき、 $\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{1}{\tan\alpha}$ が成り立ちます。これは、直角三角形をかけばわかります。これを使えば
\begin{eqnarray} & & \dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{1}{\tan 2x}}{\frac{1}{\tan x}} \\[5pt] &=& \dfrac{\tan x}{\tan 2x} \\[5pt] &=& \dfrac{\tan x}{\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}} \\[5pt] &=& \dfrac{1-\tan^2 x}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できます。

解答

タ：8 (2点)
チ：b (2点)
ツ：6 (3点)

解答編　つづき

問題

(2) ① から、 $0\lt x\lt \frac{\pi}{4}$ のとき $\dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$ のとり得る値の範囲は\[ \dBox{テ} \lt \dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} \lt \dBox{ト} \quad\cdots ② \]

　$\dBox{テ},\ \dBox{ト}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $0$
　1: $1$
　2: $2$
　3: $3$
　4: $4$

　5: $\frac{1}{2}$

　6: $\frac{1}{3}$

　7: $\frac{1}{4}$

解説

(2)
$0\lt x\lt\dfrac{\pi}{4}$ のとき、 $0\lt \tan x\lt 1$ なので、 $\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{1-\tan^2 x}{2} \gt 0$ となります。よって\[ 0\lt \dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} \lt \frac{1}{2} \]となります。

解答

テト：05 (3点)

解答編　つづき

問題

(3) 花子さんは、表１に載っていない $\tan 89.5^{\circ}$ の値を、②を用いて調べることにした。

　$0\lt x \lt\frac{\pi}{4}$ のとき、 $\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\tan 89^{\circ}$ を満たす $x$ は\[ x=\dfrac{\pi}{\myBox{ナニヌ}} \]である。

解説

(3)
$0\lt x\lt \frac{\pi}{4}$ のとき、$\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)$ は各値を1度しかとらないので、 $\tan\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\tan 89^{\circ}$ ならば角同士が等しくなります。つまり\[ \frac{\pi}{2}-2x = 89^{\circ} \]となります。また、 $89^{\circ}$ をラジアンで表すと $89\cdot\dfrac{\pi}{180}$ なので
\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} -2x &=& 89\cdot\frac{\pi}{180} \\[5pt] 90\pi -360x &=& 89\pi \\[5pt] x &=& \frac{\pi}{360} \end{eqnarray}となります。

解答

ナニヌ：360 (2点)

解答編　つづき

問題

　花子さんは、表１を参考にして、 $\tan 89^{\circ}=57.29$ とした。②を用いると $\tan 89.5^{\circ}$ の値は $\dBox{ネ}$ であることがわかる。

　$\dbox{ネ}$ の解答群

　0: 30未満
　1: 30以上 40未満
　2: 40以上 50未満
　3: 50以上 60未満
　4: 60以上 70未満
　5: 70以上 80未満
　6: 80以上 90未満
　7: 90以上 100未満
　8: 100以上 110未満
　9: 110以上

解説

②で、$x=\dfrac{\pi}{360}$ を代入すると
\begin{eqnarray} 0 \lt \frac{\tan 89^{\circ}}{\tan 89.5^{\circ}} \lt \frac{1}{2} \\[5pt] 0 \lt 57.29 \lt \frac{\tan 89.5^{\circ}}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。右側の不等号から、 $\tan 89.5^{\circ}\gt 2\cdot57.29 \gt 110$ となることがわかります。

解答

ネ：9 (3点)