共通テスト 数学II・数学B 2022年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　座標平面上に点 $\mathrm{A}(-8,0)$ をとる。また、不等式\[ x^2+y^2-4x-10y+4\leqq 0 \]の表す領域を $D$ とする。

(1) 領域 $D$ は中心が点 $\left(\myBox{ア}, \myBox{イ}\right)$、半径が $\myBox{ウ}$ の円の $\dBox{エ}$ である。

　$\dbox{エ}$ の解答群

　0: 周
　1: 内部
　2: 外部
　3: 周および内部
　4: 周および外部

　以下、点 $\left(\mybox{ア}, \mybox{イ}\right)$ を Q とし、方程式\[ x^2+y^2-4x-10y+4=0 \]の表す図形を $C$ とする。

(2) 点 A を通る直線と領域 $D$ が共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。

(i) (1) により、直線 $y=\myBox{オ}$ は点 A を通る $C$ の接線の一つとなることがわかる。

　太郎さんと花子さんは点 A を通る $C$ のもう一つの接線について話している。
　点 A を通り、傾きが $k$ の直線を $\ell$ とする。

• 直線 $\ell$ の方程式は $y=k(x+8)$ と表すことができるから、これを\[ x^2+y^2-4x-10y+4=0 \]に代入することで接線を求められそうだね。
• $x$ 軸と直線 AQ のなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。

(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。

　$y=k(x+8)$ を $x^2+y^2-4x-10y+4=0$ に代入すると、 $x$ についての2次方程式\[ (k^2+1)x^2 +(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0 \]が得られる。この方程式が $\dBox{カ}$ ときの $k$ の値が接線の傾きとなる。

　$\dbox{カ}$ の解答群

　0: 重解をもつ
　1: 異なる二つの実数解をもち、一つは $0$ である
　2: 異なる二つの正の実数解をもつ
　3: 正の実数解と負の実数解をもつ
　4: 異なる二つの負の実数解をもつ
　5: 異なる二つの虚数解をもつ

(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。

　$x$ 軸と直線 AQ のなす角を $\theta$ $\left(0\lt \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ とすると\[ \tan\theta=\dfrac{\myBox{キ} }{\myBox{ク} } \]であり、直線 $y=\mybox{オ}$ と異なる接線の傾きは $\tan\dBox{ケ}$ と表すことができる。

　$\dbox{ケ}$ の解答群

　0: $\theta$
　1: $2\theta$
　2: $\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)$
　3: $\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)$
　4: $\left(\theta+\pi\right)$
　5: $\left(\theta-\pi\right)$
　6: $\left(2\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)$
　7: $\left(2\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)$

(iv) 点 A を通る $C$ の接線のうち、直線 $y=\mybox{オ}$ と異なる接線の傾きを $k_0$ とする。このとき、(ii) または (iii) の考え方を用いることにより\[ k_0=\dfrac{\myBox{コ} }{\myBox{サ} } \]であることがわかる。

　直線 $\ell$ と領域 $D$ が共有点をもつような $k$ の値の範囲は $\dBox{シ}$ である。

　$\dbox{シ}$ の解答群

　0: $k\gt k_0$
　1: $k\geqq k_0$
　2: $k\lt k_0$
　3: $k\leqq k_0$
　4: $0\lt k \lt k_0$
　5: $0\leqq k\leqq k_0$

考え方

ある点を通る円の接線を求める問題です。図をかいて考えましょう。

太郎さんの求め方では計算結果も書いてくれており、かなり親切です。複数の求め方を考えるのは共通テストっぽいですね。どちらの方法でも答えは求められますが、楽な方を選びましょう。

【必答問題】

解答編

問題

　座標平面上に点 $\mathrm{A}(-8,0)$ をとる。また、不等式\[ x^2+y^2-4x-10y+4\leqq 0 \]の表す領域を $D$ とする。

(1) 領域 $D$ は中心が点 $\left(\myBox{ア}, \myBox{イ}\right)$、半径が $\myBox{ウ}$ の円の $\dBox{エ}$ である。

　$\dbox{エ}$ の解答群

　0: 周
　1: 内部
　2: 外部
　3: 周および内部
　4: 周および外部

解説

領域 $D$ の式は
\begin{eqnarray} x^2+y^2-4x-10y+4 &\leqq& 0 \\[5pt] (x-2)^2-4+(y-5)^2-25+4 &\leqq& 0 \\[5pt] (x-2)^2+(y-5)^2 &\leqq& 25 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、領域 $D$ は中心が $(2,5)$ で半径が $5$ の円の周および内部となります。

解答

アイ：25
ウ：5
エ：3

解答編 つづき

　以下、点 $\left(\mybox{ア}, \mybox{イ}\right)$ を Q とし、方程式\[ x^2+y^2-4x-10y+4=0 \]の表す図形を $C$ とする。

(2) 点 A を通る直線と領域 $D$ が共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。

(i) (1) により、直線 $y=\myBox{オ}$ は点 A を通る $C$ の接線の一つとなることがわかる。

解説

図は次のようになっています。

$C$ が $x$ 軸に接していて、点 $\mathrm{A}(-8,0)$ は $x$ 軸上の点なので、直線 $y=0$ は点 A を通る $C$ の接線の一つとなることがわかります。

解答

オ：0

解答編 つづき

　太郎さんと花子さんは点 A を通る $C$ のもう一つの接線について話している。
　点 A を通り、傾きが $k$ の直線を $\ell$ とする。

• 直線 $\ell$ の方程式は $y=k(x+8)$ と表すことができるから、これを\[ x^2+y^2-4x-10y+4=0 \]に代入することで接線を求められそうだね。
• $x$ 軸と直線 AQ のなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。

(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。

　$y=k(x+8)$ を $x^2+y^2-4x-10y+4=0$ に代入すると、 $x$ についての2次方程式\[ (k^2+1)x^2 +(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0 \]が得られる。この方程式が $\dBox{カ}$ ときの $k$ の値が接線の傾きとなる。

　$\dbox{カ}$ の解答群

　0: 重解をもつ
　1: 異なる二つの実数解をもち、一つは $0$ である
　2: 異なる二つの正の実数解をもつ
　3: 正の実数解と負の実数解をもつ
　4: 異なる二つの負の実数解をもつ
　5: 異なる二つの虚数解をもつ

解説

太郎さんの求め方では、 $y$ を消して $x$ の2次方程式を考えます。代入した後の式も問題文に書いてくれているので親切です。\[ (k^2+1)x^2 +(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0 \]接線を求めるので、この方程式が重解をもつときの $k$ の値が接線の傾きとなります。

解答

カ：0

解答編 つづき

(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。

　$x$ 軸と直線 AQ のなす角を $\theta$ $\left(0\lt \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ とすると\[ \tan\theta=\dfrac{\myBox{キ} }{\myBox{ク} } \]であり、直線 $y=\mybox{オ}$ と異なる接線の傾きは $\tan\dBox{ケ}$ と表すことができる。

　$\dbox{ケ}$ の解答群

　0: $\theta$
　1: $2\theta$
　2: $\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)$
　3: $\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)$
　4: $\left(\theta+\pi\right)$
　5: $\left(\theta-\pi\right)$
　6: $\left(2\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)$
　7: $\left(2\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)$

解説

花子さんの求め方では、直線 AQ や接線を書くと考えやすくなります。

まず、 $\tan\theta=\dfrac{5}{8+2}=\dfrac{1}{2}$ と求められます。また、2つの接線は直線 AQ について線対称なので、直線 $y=0$ と異なる接線の傾きは $2\theta$ と表すことができます。

解答

キク：12
ケ：1

解答編 つづき

(iv) 点 A を通る $C$ の接線のうち、直線 $y=\mybox{オ}$ と異なる接線の傾きを $k_0$ とする。このとき、(ii) または (iii) の考え方を用いることにより\[ k_0=\dfrac{\myBox{コ} }{\myBox{サ} } \]であることがわかる。

　直線 $\ell$ と領域 $D$ が共有点をもつような $k$ の値の範囲は $\dBox{シ}$ である。

　$\dbox{シ}$ の解答群

　0: $k\gt k_0$
　1: $k\geqq k_0$
　2: $k\lt k_0$
　3: $k\leqq k_0$
　4: $0\lt k \lt k_0$
　5: $0\leqq k\leqq k_0$

解説

まずは、太郎さんの求め方を使ってみます。\[ (k^2+1)x^2 +(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0 \]の判別式は
\begin{eqnarray} & & (16k^2-10k-4)^2-4(k^2+1)(64k^2-80k+4) \\[5pt] &=& (256k^4+100k^2+16-320k^3+80k-128k^2)\\ & & -4(64k^4-80k^3+4k^2+64k^2-80k+4) \\[5pt] &=& (256k^4-320k^3-28k^2+80k+16)\\ & & -4(64k^4-80k^3+68k^2-80k+4) \\[5pt] &=& (-28k^2+80k) -4(68k^2-80k) \\[5pt] &=& 4(-7k^2+20k-68k^2+80k) \\[5pt] &=& 4(-75k^2+100k) \\[5pt] &=& -100k(3k-4) \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できるので、これが $0$ となるのは $k=0,\dfrac{4}{3}$ のときです。よって、 $k_0=\dfrac{4}{3}$ となります。

一方、花子さんの求め方であれば、倍角の公式を使って
\begin{eqnarray} k_0 &=& \tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot\frac{1}{2} }{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{1-\frac{1}{4} } \\[5pt] &=& \frac{4}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。花子さんの解き方のほうが、計算量がかなり少ないです。

また、直線 $\ell$ と領域 $D$ が共有点をもつような $k$ の値の範囲は、 $0\leqq k \leqq k_0$ となります。

解答

コサ：43
シ：5