共通テスト数学I・数学A 2024年度追試第4問 [1] 解説

🕒 2024/02/25

【第3問～第5問から2問選択】

問題編

問題

(1) 等式\[ 2xy-4x-3y=0 \quad\cdots ① \]を満たす整数 $x,y$ の組を考えよう。

　①を変形すると\[ \left(2x-\myBox{ア}\right)\left(y-\myBox{イ}\right)=\myBox{ウ} \]となる。よって、①を満たす整数 $x,y$ の組は $\myBox{エ}$ 個ある。それらの組の中で $xy$ の値が最大になるのは\[ (x,y)=\left(\myBox{オ},\ \myBox{カ}\right) \]のときである。

(2) $a$ を $0$ 以上の整数とする。等式\[ 2xy-4x-3y=3a \]を満たす整数 $x,y$ の組がちょうど $8$ 個になるような最小の $a$ は $\myBox{キ}$ である。

考え方

因数分解のような計算をして整数解をしぼる、というよくあるタイプの計算です。後半は前半の内容を踏まえて考えます。ちょうど8個をいきなり考えるのではなく、候補を挙げてから調べて行くといいでしょう。解答欄から一桁だとわかるので、見つけるのはそんなに大変ではないと予想できます。

【第3問～第5問から2問選択】

解答編

問題

(1) 等式\[ 2xy-4x-3y=0 \quad\cdots ① \]を満たす整数 $x,y$ の組を考えよう。

　①を変形すると\[ \left(2x-\myBox{ア}\right)\left(y-\myBox{イ}\right)=\myBox{ウ} \]となる。よって、①を満たす整数 $x,y$ の組は $\myBox{エ}$ 個ある。それらの組の中で $xy$ の値が最大になるのは\[ (x,y)=\left(\myBox{オ},\ \myBox{カ}\right) \]のときである。

解説

(1)
$xy,x,y$ の係数が合うように変形すると
\begin{eqnarray} 2xy-4x-3y &=& 0 \\[5pt] (2x-3)(y-2)-6 &=& 0 \\[5pt] (2x-3)(y-2) &=& 6 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、 $(2x-3,y-2)$ の候補は、 $(1,6)$, $(2,3)$, $(3,2)$, $(6,1)$, $(-1,-6)$, $(-2,-3)$, $(-3,-2)$, $(-6,-1)$ です。ここで、 $x$ が整数のときを考えるので、 $2x-3$ は奇数です。なので、対象外のものを外すと、 $(2x-3,y-2)$ の候補は、 $(1,6)$, $(3,2)$, $(-1,-6)$, $(-3,-2)$ となります。

これらに対し、 $(x,y)$ を順番に計算すると、 $(2,8)$, $(3,4)$, $(1,-4)$, $(0,0)$ となります。この4組が条件を満たします。これらの中で、 $xy$ が最大になるのは $(x,y)=(2,8)$ のときだとわかります。

解答

アイウ：326 (2点)
エ：4 (2点)
オカ：28 (3点)

解答編　つづき

問題

(2) $a$ を $0$ 以上の整数とする。等式\[ 2xy-4x-3y=3a \]を満たす整数 $x,y$ の組がちょうど $8$ 個になるような最小の $a$ は $\myBox{キ}$ である。

解説

(2)
(1)と同様に変形すると
\begin{eqnarray} 2xy-4x-3y &=& 3a \\[5pt] (2x-3)(y-2) &=& 3a+6=3(a+2) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $(2x-3,y-2)$ の組が $8$ 個以上になる場合を考えます。これは、 $3(a+2)$ の約数が $8$ 個以上のときです。 $6,9,12,15,\cdots$ と考えると、 $3(a+2)$ が $12$ や $15$ のときが該当します。

$(2x-3)(y-2)=12$ で $2x-3$ が奇数となるような組 $(2x-3,y-2)$ を列挙すると、 $(1,12)$, $(3,4)$, $(-1,12)$, $(-3,-4)$ なので、4組しかないので条件を満たさないことがわかります。

$(2x-3)(y-2)=15$ で $2x-3$ が奇数となるような組 $(2x-3,y-2)$ を列挙すると、 $(1,15)$, $(3,5)$, $(5,3)$, $(15,1)$, $(-1,-15)$, $(-3,-5)$, $(-5,-3)$, $(-15,-1)$ なので、ちょうど8組あります。対応する $(x,y)$ を計算すると、どれも整数の組になることがわかるので、 $3(a+2)=15$ のとき、つまり、 $a=3$ が条件を満たす最小の値だとわかります。