共通テスト数学I・数学A 2024年度追試第1問 [1] 解説

🕒 2024/02/25

【必答問題】

問題編

問題

　次の等式①と②を同時に満たす実数 $x,y$ について考える。
\begin{eqnarray} & & 50(x^2+y^2)=(x+7y)^2 \quad \cdots ① \\[5pt] & & -4\sqrt{3}x+y=1 \quad \cdots ② \end{eqnarray}
　①の左辺から右辺を引くと\[ 50(x^2+y^2)-(x+7y)^2=\left(\myBox{ア}x-y\right)^2 \]となる。よって、①より\[ y=\mybox{ア}x \]である。したがって、\[ x=\myBox{イ}+\myBox{ウ}\sqrt{3} \]となり、 $y=\mybox{ア}\left(\mybox{イ}+\mybox{ウ}\sqrt{3}\right)$ となる。

　また\[ x^2+y^2-50=400\left(\myBox{エオ}+\myBox{カ}\sqrt{3}\right) \]となる。

考え方

誘導にそって計算していくだけです。最後も、ほとんどそのまま代入して計算するだけで、ひねっているところはあまりありません。

【必答問題】

解答編

問題

　次の等式①と②を同時に満たす実数 $x,y$ について考える。
\begin{eqnarray} & & 50(x^2+y^2)=(x+7y)^2 \quad \cdots ① \\[5pt] & & -4\sqrt{3}x+y=1 \quad \cdots ② \end{eqnarray}
　①の左辺から右辺を引くと\[ 50(x^2+y^2)-(x+7y)^2=\left(\myBox{ア}x-y\right)^2 \]となる。よって、①より\[ y=\mybox{ア}x \]である。

解説

①の左辺から右辺を引くと
\begin{eqnarray} & & 50(x^2+y^2)-(x+7y)^2 \\[5pt] &=& 50x^2+50y^2-x^2-14xy-49y^2 \\[5pt] &=& 49x^2-14xy+y^2 \\[5pt] &=& (7x-y)^2 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これが $0$ となるので、 $y=7x$ です。

解答

ア：7 (2点)

解答編　つづき

問題

したがって、\[ x=\myBox{イ}+\myBox{ウ}\sqrt{3} \]となり、 $y=\mybox{ア}\left(\mybox{イ}+\mybox{ウ}\sqrt{3}\right)$ となる。

解説

これを②に代入すると
\begin{eqnarray} -4\sqrt{3}x+y &=& 1 \\[5pt] -4\sqrt{3}x+7x &=& 1 \\[5pt] x &=& \frac{1}{7-4\sqrt{3}} \\[5pt] &=& \frac{7+4\sqrt{3}}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} \\[5pt] &=& 7+4\sqrt{3} \end{eqnarray}となり、 $y=7x=7(7+4\sqrt{3})$ となります。

解答

イウ：74 (2点)

解答編　つづき

問題

　また\[ x^2+y^2-50=400\left(\myBox{エオ}+\myBox{カ}\sqrt{3}\right) \]となる。

解説

また、
\begin{eqnarray} & & x^2+y^2-50 \\[5pt] &=& x^2+(7x)^2-50 \\[5pt] &=& 50x^2-50 \\[5pt] &=& 50\{(7+4\sqrt{3})^2-1\} \\[5pt] &=& 50(49+56\sqrt{3}+48-1) \\[5pt] &=& 400(12+7\sqrt{3}) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。