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共通テスト 数学I・数学A 2023年度 第1問 [1] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 実数 $x$ についての不等式\[ |x+6|\leqq 2 \]の解は\[ \myBox{アイ}\leqq x\leqq \myBox{ウエ} \]である。

 よって、実数 $a,b,c,d$ が\[ |(1-\sqrt{3})(a-b)(c-d)+6|\leqq 2 \]を満たしているとき、 $1-\sqrt{3}$ は負であることに注意すると、 $(a-b)(c-d)$ のとり得る値の範囲は\[ \myBox{オ}+\myBox{カ}\sqrt{3} \leqq (a-b)(c-d) \leqq \myBox{キ}+\myBox{ク} \sqrt{3} \]であることがわかる。

 特に\[ (a-b)(c-d)=\mybox{キ}+\mybox{ク}\sqrt{3}\quad \cdots ① \]であるとき、さらに\[ (a-c)(b-d)=-3+\sqrt{3} \quad \cdots ② \]が成り立つならば\[ (a-d)(c-b)=\myBox{ケ}+\myBox{コ}\sqrt{3} \quad\cdots ③ \]であることが、等式 ①, ②, ③ の左辺を展開して比較することによりわかる。

考え方

言われた通りに計算していきます。落ち着いて計算間違いをしないようにやっていくようにしましょう。


【必答問題】

解答編

問題

 実数 $x$ についての不等式\[ |x+6|\leqq 2 \]の解は\[ \myBox{アイ}\leqq x\leqq \myBox{ウエ} \]である。

解説

$|x+6|\leqq 2$ を変形すると
\begin{eqnarray} -2 \leqq x+6 \leqq 2 \\[5pt] -8 \leqq x \leqq -4 \\[5pt] \end{eqnarray}となります

解答

アイ:-8 (2点)
ウエ:-4 (1点)

解答編 つづき

問題

 よって、実数 $a,b,c,d$ が\[ |(1-\sqrt{3})(a-b)(c-d)+6|\leqq 2 \]を満たしているとき、 $1-\sqrt{3}$ は負であることに注意すると、 $(a-b)(c-d)$ のとり得る値の範囲は\[ \myBox{オ}+\myBox{カ}\sqrt{3} \leqq (a-b)(c-d) \leqq \myBox{キ}+\myBox{ク} \sqrt{3} \]であることがわかる。

解説

$|(1-\sqrt{3})(a-b)(c-d)+6|\leqq 2$ と先ほどの式の $|x+6|\leqq 2$ を見比べると
\begin{eqnarray} -8 \leqq (1-\sqrt{3})(a-b)(c-d) \leqq -4 \end{eqnarray}を考えればいいことがわかります。ヒントにあるように、負の数である $1-\sqrt{3}$ で割ると、不等号の向きが反転して \begin{eqnarray} \frac{-8}{1-\sqrt{3}} \geqq (a-b)(c-d) \geqq \frac{-4}{1-\sqrt{3}} \end{eqnarray}となります。ここで、 \begin{eqnarray} \frac{-8}{1-\sqrt{3}} &=& \frac{8}{\sqrt{3}-1} \\[5pt] &=& \frac{8(\sqrt{3}+1)}{3-1} \\[5pt] &=& 4\sqrt{3}+4 \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} \frac{-4}{1-\sqrt{3}} &=& \frac{4}{\sqrt{3}-1} \\[5pt] &=& \frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1} \\[5pt] &=& 2\sqrt{3}+2 \\[5pt] \end{eqnarray}だから、問題文の形に合わせると\[ 2+2\sqrt{3} \leqq (a-b)(c-d) \leqq 4+4\sqrt{3} \]となることがわかります。

解答

オカ:22 (2点)
キク:44 (2点)

解答編 つづき

問題

 特に\[ (a-b)(c-d)=\mybox{キ}+\mybox{ク}\sqrt{3}\quad \cdots ① \]であるとき、さらに\[ (a-c)(b-d)=-3+\sqrt{3} \quad \cdots ② \]が成り立つならば\[ (a-d)(c-b)=\myBox{ケ}+\myBox{コ}\sqrt{3} \quad\cdots ③ \]であることが、等式 ①, ②, ③ の左辺を展開して比較することによりわかる。

解説

①を変形すると
\begin{eqnarray} (a-b)(c-d) &=& 4+4\sqrt{3} \\[5pt] ac-ad-bc+bd &=& 4+4\sqrt{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。②を変形すると \begin{eqnarray} (a-c)(b-d) &=& -3+\sqrt{3} \\[5pt] ab-ad-bc+cd &=& -3+\sqrt{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

ここで、1つ目の式から2つ目の式を引くと、 $-ad-bc$ の部分が消えて
\begin{eqnarray} ac-ab+bd-cd &=& (4+4\sqrt{3})-(-3+\sqrt{3}) \\[5pt] (a-d)(c-b) &=& 7+3\sqrt{3} \end{eqnarray}となります。

解答

ケコ:73 (3点)

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