京都大学 理系 2022年度 第6問 解説
問題編
問題
数列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ を次の式
\begin{eqnarray} & & x_1=0,\ x_{n+1}=x_n+n+2\cos\left(\frac{2\pi x_n}{3}\right) \\ & & (n=1,2,3,\cdots), \\[5pt] & & y_{3m+1}=3m,\ y_{3m+2}=3m+2,\ y_{3m+3}=3m+4 \\ & & (m=0,1,2,\cdots) \\[5pt] \end{eqnarray}により定める。このとき、数列 $\{x_n-y_n\}$ の一般項を求めよ。
考え方
いくつか書き出してみると答えは見えてきます。まずは、 $\cos$ のところをやっつけましょう。
ゴールは予想しやすいですが、状況が多いので、説明の仕方によって書く分量がだいぶ変わってきます。
解答編
問題
数列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ を次の式
\begin{eqnarray} & & x_1=0,\ x_{n+1}=x_n+n+2\cos\left(\frac{2\pi x_n}{3}\right) \\ & & (n=1,2,3,\cdots), \\[5pt] & & y_{3m+1}=3m,\ y_{3m+2}=3m+2,\ y_{3m+3}=3m+4 \\ & & (m=0,1,2,\cdots) \\[5pt] \end{eqnarray}により定める。このとき、数列 $\{x_n-y_n\}$ の一般項を求めよ。
解答
まず、 $n$ を $0$ 以上の整数とするとき、 $x_{3n+1}$, $x_{3n+2}$, $x_{3n+3}$ を $3$ で割った余りが、それぞれ、 $0,0,1$ となることを示す。
(ア) $n=0$ のとき
$x_1=0$ であり
\begin{eqnarray}
x_2 &=& x_1+1+2\cos\frac{2\pi\cdot 0}{3} = 3 \\[5pt]
x_3 &=& x_2+2+2\cos\frac{2\pi\cdot 3}{3} = 7
\end{eqnarray}より成り立つ。
(イ) $n=k$ のとき（$k$ は $0$ 以上の整数）のときに成り立つとすると
\begin{eqnarray}
x_{3n+4} &=& x_{3n+3}+3n+3+2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\[5pt]
&=& x_{3n+3}+3n+2 \\[5pt]
\end{eqnarray}より、これを $3$ で割った余りは $1+3n+2$ を $3$ で割った余りと等しく、 $0$ である。
\begin{eqnarray}
x_{3n+5} &=& x_{3n+4}+3n+4+2 \cdot 1 \\[5pt]
&=& x_{3n+4}+3n+6 \\[5pt]
\end{eqnarray}より、これを $3$ で割った余りは $0+3n+6$ を $3$ で割った余りと等しく、 $0$ である。
\begin{eqnarray}
x_{3n+6} &=& x_{3n+5}+3n+5+2 \cdot 1 \\[5pt]
&=& x_{3n+5}+3n+7 \\[5pt]
\end{eqnarray}より、これを $3$ で割った余りは $0+3n+7$ を $3$ で割った余りと等しく、 $1$ である。
(ア)(イ)より、 $x_{3n+1}$, $x_{3n+2}$, $x_{3n+3}$ を $3$ で割った余りが、それぞれ、 $0,0,1$ となることが示せた。
これより、 $x=x_{3n+1},x_{3n+2},x_{3n+3}$ としたとき、 $2\cos \dfrac{2\pi x}{3}$ の値は、それぞれ、 $2,2,-1$ となる。
よって、 $0$ 以上の整数 $n$ に対して
\begin{eqnarray}
x_{3n+2} &=& x_{3n+1}+(3n+1)+2 \\[5pt]
x_{3n+3} &=& x_{3n+2}+(3n+2)+2 \\[5pt]
x_{3n+4} &=& x_{3n+3}+(3n+3)-1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となることがわかる。また
\begin{eqnarray}
y_{3n+2} &=& 3m+2 = y_{3m+1}+2 \\[5pt]
x_{3n+3} &=& 3m+4 = y_{3m+2}+2 \\[5pt]
x_{3n+4} &=& 3(m+1) = (3m+4)-1 \\[5pt]
&=& y_{3m+3}-1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となることから
\begin{eqnarray}
x_{3n+2} -y_{3n+2} &=& x_{3n+1} -y_{3n+1} +(3n+1) \\[5pt]
x_{3n+3} -y_{3n+3} &=& x_{3n+2} -y_{3n+1} +(3n+2) \\[5pt]
x_{3n+4} -y_{3n+4} &=& x_{3n+3} -y_{3n+1} +(3n+3)
\end{eqnarray}が成り立つので、すべての正の整数 $n$ について\[ x_{n+1}-y_{n+1} = x_n-y_n+n \]が成り立つことがわかる。これより、 $n$ が $2$ 以上のときは
\begin{eqnarray}
x_n-y_n
&=&
x_1-y_1+\sum_{k=1}^{n-1} k \\[5pt]
&=&
\frac{n(n-1)}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。これは $n=1$ のときも正しいので、数列 $\{x_n-y_n\}$ の一般項は $\dfrac{n(n-1)}{2}$ である。（答）
