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京都大学 理系 2022年度 第2問 解説

問題編

問題

 箱の中に $1$ から $n$ までの番号がついた $n$ 枚の札がある。ただし $n\geqq 5$ とし、同じ番号の札はないとする。この箱から3枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順に $X, Y, Z$ とする。このとき、 $Y-X\geqq 2$ かつ $Z-Y\geqq 2$ となる確率を求めよ。

考え方

単純に $\sum$ を使って計算していくのは大変です。時間もかかるし、計算間違いもしやすいです。

とはいえ、 $\sum$ を使わずに解くのも少し難しいです。「条件を満たす整数の個数の数え方」に関する類題を解いていないと厳しいでしょう。


解答編

問題

 箱の中に $1$ から $n$ までの番号がついた $n$ 枚の札がある。ただし $n\geqq 5$ とし、同じ番号の札はないとする。この箱から3枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順に $X, Y, Z$ とする。このとき、 $Y-X\geqq 2$ かつ $Z-Y\geqq 2$ となる確率を求めよ。

解答

$Y-X\geqq 2$ かつ $Z-Y\geqq 2$ となるような札の選び方が何通りあるかを考える。

$X,Y,Z$ がこの条件を満たしているとき、 $x=X-1$, $y=Y-X-2$, $z=Z-Y-2$ とすると、$x,y,z$ は $0$ 以上の整数であり、 $x+y+z=Z-5\leqq n-5$ である。逆に、 $x+y+z\leqq n-5$ を満たす $0$ 以上の整数 $x,y,z$ に対し、上の式を満たすように $X,Y,Z$ を決めれば、札の選び方は条件を満たす。また、 $(X,Y,Z)$ が異なれば $(x,y,z)$ も異なる。

よって、条件を満たす $X,Y,Z$ の選び方は、「 $0$ 以上の整数 $x,y,z$ で、 $x+y+z\leqq n-5$ を満たすもの」の組の総数と一致する。これは、 $n-5$ 個の〇と $3$ 個の縦棒を横一列に並び替え、縦棒で区切られた〇の数を左から順番に $x,y,z$ としたものに等しい( $n=5$ のときは $x=y=z=0$ )。

これより、条件を満たす札の選び方の総数は\[ {}_{n-5+3}\mathrm{C}_3=\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6} \]となる。

札の選び方の総数は全体で\[ {}_{n}\mathrm{C}_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \]なので、求める確率は
\begin{eqnarray} & & \frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6} \div \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \\[5pt] &=& \frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)} \end{eqnarray}となる。(答)

参考

【応用】指定した合計値になる整数の組合せ

別解

(条件を満たす札の選び方のところまで)

$Y$ は $3$ 以上 $n-2$ 以下の値をとりうる。 $Y$ の値を決めたとき、 $X$ は $Y-2$ 通り、 $Z$ は $n-(Y+1)$ 通りの選び方があるので、 $(X,Y,Z)$ の組は $\displaystyle \sum_{Y=3}^{n-2} (Y-2)(n-Y-1)$ 通りある。 $Y=1$ から $Y=n-2$ までの和から $Y=1,2$ の場合を引くと
\begin{eqnarray} & & \sum_{Y=3}^{n-2} (Y-2)(n-Y-1) \\[5pt] &=& (n-2)+\sum_{Y=1}^{n-2} (Y-2)(n-Y-1) \\[5pt] &=& (n-2)+\sum_{Y=1}^{n-2} \{ -Y^2+(n-1+2)Y-2(n-1) \} \\[5pt] &=& (n-2)-\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6} \\ & & +(n+1)\cdot\frac{(n-2)(n-1)}{2} -2(n-1)(n-2) \\[5pt] &=& (n-2)\left\{ 1-\frac{(n-1)(2n-3)}{6}+\frac{(n+1)(n-1)}{2}-2(n-1) \right\} \\[5pt] &=& (n-2)\cdot \frac{6-(n-1)(2n-3)+3(n+1)(n-1)-12(n-1)}{6} \\[5pt] &=& (n-2)\cdot \frac{ 6+(n-1)\{-(2n-3)+3(n+1)-12\} }{6} \\[5pt] &=& (n-2)\cdot \frac{ 6+(n-1)(-2n+3+3n+3-12) }{6} \\[5pt] &=& (n-2)\cdot \frac{ 6+(n-1)(n-6) }{6} \\[5pt] &=& (n-2)\cdot \frac{ n^2-7n+12 }{6} \\[5pt] &=& \frac{ (n-2)(n-3)(n-4) }{6} \\[5pt] \end{eqnarray}と求められる。

(以下は同じ)

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