京都大学 理系 2022年度 第1問 解説

問題編

問題

　$5.4\lt \log_4 2022 \lt 5.5$ であることを示せ。ただし、 $0.301\lt \log_{10}2 \lt 0.3011$ であることは用いてよい。

考え方

使えるものは $\log_{10} 2$ しかないので、 $10$ に関連するものや $2$ に関連する数字を利用して値の大きさを評価していきましょう。

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解答編

問題

　$5.4\lt \log_4 2022 \lt 5.5$ であることを示せ。ただし、 $0.301\lt \log_{10}2 \lt 0.3011$ であることは用いてよい。

解答

\begin{eqnarray} \log_4 2022 &\lt& \log_4 2048 \\[5pt] &=& \frac{\log_2 2048}{\log_2 4} \\[5pt] &=& \frac{11}{2} = 5.5 \end{eqnarray}であり \begin{eqnarray} \log_4 2022 &\gt& \log_4 2000 \\[5pt] &=& \frac{\log_{10} 2000}{\log_{10} 4} \\[5pt] &=& \frac{3+\log_{10} 2}{2\log_{10} 2} \\[5pt] &\gt& \frac{3+0.301}{2\times 0.3011} \\[5pt] &\gt& 5.48 \end{eqnarray}より、\[ 5.4\lt \log_4 2022 \lt 5.5 \]となる。（終）

解説

使えるものはあまりありません。 $2022$ を素因数分解してもきれいな形にはならないので、より小さい値やより大きい値で、扱いやすいものを探してきます。

ここでは $2022$ が $2048=2^{11}$ よりも小さいこと、 $2000=2\cdot 10^3$ よりも大きいことを使って示しています。