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京都大学 理系 2022年度 第3問 解説

問題編

問題

 $n$ を自然数とする。3つの整数 $n^2+2$, $n^4+2$, $n^6+2$ の最大公約数 $A_n$ を求めよ。

考え方

実験をしてもなかなかパターンがつかみにくいです。式変形を行って、解の候補を減らせないか考えましょう。


解答編

問題

 $n$ を自然数とする。3つの整数 $n^2+2$, $n^4+2$, $n^6+2$ の最大公約数 $A_n$ を求めよ。

解説

$n^4+2=(n^2+2)(n^2-2)+6$ なので、最大公約数 $A_n$ は $6$ の約数である。

$n$ が偶数のときは $n^2+2$, $n^4+2$, $n^6+2$ はすべて偶数であり、 $n$ が奇数のときはすべて奇数である。

$n=3a+b$ のとき( $a$ は整数、 $b$ は $0,1,2$ のいずれか)、 $n^2$ を $3$ で割った余りは $b^2$ を $3$ で割った余りに等しい。よって、 $n$ が $3$ の倍数のときは、 $n^2+2$, $n^4+2$, $n^6+2$ はいずれも $3$ で割り切れない。 $n$ が $3$ の倍数でないときは、 $n^2,n^4,n^6$ を $3$ で割った余りはいずれも $1$ なので、 $n^2+2$, $n^4+2$, $n^6+2$ はいずれも $3$ で割り切れる。

以上から、 $n$ を $6$ で割った余りで場合分けをすると

・余りが $0$ のとき: 3つの整数は $2$ で割り切れる。 $3$ で割り切れる。
・余りが $1$ のとき: 3つの整数は $2$ で割り切れない。 $3$ で割り切れる。
・余りが $2$ のとき: 3つの整数は $2$ で割り切れる。 $3$ で割り切れる。
・余りが $3$ のとき: 3つの整数は $2$ で割り切れない。 $3$ で割り切れない。
・余りが $4$ のとき: 3つの整数は $2$ で割り切れる。 $3$ で割り切れる。
・余りが $5$ のとき: 3つの整数は $2$ で割り切れない。 $3$ で割り切れる。

となる。以上から、答えは以下の通りとなる。

(答)
$A_n=1$ ( $n$ を $6$ で割った余りが $3$ のとき)
$A_n=2$ ( $n$ を $6$ で割った余りが $0$ のとき)
$A_n=3$ ( $n$ を $6$ で割った余りが $1,5$ のとき)
$A_n=6$ ( $n$ を $6$ で割った余りが $2,4$ のとき)

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