京都大学 理系 2017年度 第5問 解説

問題編

問題

　$a\geqq 0$ とする。 $0\leqq x \leqq \sqrt{2}$ の範囲で曲線 $y=xe^{-x}$, 直線 $y=ax$, 直線 $x=\sqrt{2}$ によって囲まれた部分の面積を $S(a)$ とする。このとき、 $S(a)$ の最小値を求めよ。

（ここで「囲まれた部分」とは、上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする。）

【広告】

一度読んだら絶対に忘れない世界史の教科書 公立高校教師YouTuberが書いた

現役公立高校教師としては初めて、Youtubeに世界史の授業動画を公開し、たちまち、大学受験生や社会人、教育関係者から「神授業! 」として話題沸騰の現役・公立高校教師が書いた"新感覚"の世界史の教科書!大学受験、学び直しにも。高校生から、主婦、社会人まで必読の1冊!

著者：斎藤充
出版社：SBクリエイティブ
発売日：2018-08-18
ページ数：352 ページ
値段：￥1,650
(2020年10月 時点の情報です)

考え方

面積が最小になるのは、2点で交わるときであることはすぐに予想がつきます。積分を計算する必要はありませんが、言及する必要はあります。

2点で交わっているとき、面積を求めるのは少し大変です。やるべきことはすぐにわかりますが、計算は手間取ります。また、それを微分するので、計算はかなり大変です。最小になるときの a を求めるだけなら、 $S(a)$ の積分を計算せずにいきなり微分をすることもできますが、最終的に最小値も求めないといけないので、おとなしく積分するしかありません。