京都大学 理系 2017年度 第1問 解説

問題編

問題

 w を0でない複素数、 x, y を $w+\dfrac{1}{w}=x+yi$ を満たす実数とする。

(1) 実数 R は $R\gt 1$ を満たす定数とする。 w が絶対値 R の複素数全体を動くとき、 xy 平面上の点 $(x,y)$ の軌跡を求めよ。
(2) 実数 $\alpha$ は $0\lt \alpha\lt \dfrac{\pi}{2}$ を満たす定数とする。 w が偏角 $\alpha$ の複素数全体を動くとき、 xy 平面上の点 $(x,y)$ の軌跡を求めよ。

【広告】
教科書や従来の参考書では、いろいろ書かれているわりに、読者が一番知りたい肝心なことは省かれている傾向があります。本書は、ここを重点的に丁寧に解説しました。ですから、しっかり読んでもらえばスムーズに理解してもらえるはずです。本書は気楽に読めて即効的な力がつくことを謳うものではありません。しっかり読む人に、数学的な心と考えること理解することの喜びと力を伝えるものです。
著者: 長岡 亮介
出版社: 旺文社
発売日: 2012/09/23
752ページ

考え方

まずは、実部・虚部を比較して式を作りましょう。そのあとは、(1)は偏角が消えるように、(2)は絶対値が消えるように変形していきます。