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京都大学 理系 2017年度 第3問 解説

問題編

問題

 p, q を自然数、 $\alpha, \beta$ を\[ \tan\alpha =\frac{1}{p}, \ \tan\beta = \frac{1}{q} \]を満たす実数とする。このとき\[ \tan(\alpha+2\beta)=2 \]を満たす p, q の組 $(p,q)$ をすべて求めよ。

考え方

まずは、加法定理と倍角の公式を使って、 p, q を使った条件に持っていきましょう。そのあとは、 p, q が自然数であることを用いて、取りうる値の範囲が限定されることを導いていきます。


解答編

問題

 p, q を自然数、 $\alpha, \beta$ を\[ \tan\alpha =\frac{1}{p}, \ \tan\beta = \frac{1}{q} \]を満たす実数とする。このとき\[ \tan(\alpha+2\beta)=2 \]を満たす p, q の組 $(p,q)$ をすべて求めよ。

解答

(注:間違いがあったので修正しました。詳細

$q=1$ のとき、 $\beta=\dfrac{\pi}{4}+n\pi$ と書ける(n は整数)。よって、このとき
\begin{eqnarray} \tan(\alpha+2\beta) &=& \tan \left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right) \\ &=& -\frac{1}{\tan \alpha} \\ &=& -p \\ \end{eqnarray}となり、これが2となることはない。

以下では、 $q\geqq 2$ とする。

加法定理と倍角の公式から
\begin{eqnarray} & & \tan(\alpha+2\beta) \\[5pt] &=& \frac{\tan\alpha +\tan2\beta}{1-\tan\alpha\tan2\beta} \\[5pt] &=& \frac{\tan\alpha +\dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta} }{1-\tan\alpha \dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta} } \\[5pt] \end{eqnarray}となる。ここで、 $\tan\alpha=\dfrac{1}{p}$, $\tan\beta=\dfrac{1}{q}$ より \begin{eqnarray} & & \tan(\alpha+2\beta) \\[5pt] &=& \frac{\dfrac{1}{p} +\dfrac{\frac{2}{q} }{1-\frac{1}{q^2} }}{1-\dfrac{1}{p} \times \dfrac{\frac{2}{q} }{1-\frac{1}{q^2} }} \\[5pt] &=& \frac{\dfrac{1}{p} +\dfrac{2q}{q^2-1} }{1-\dfrac{1}{p} \times \dfrac{2q}{q^2-1} } \\[5pt] &=& \frac{(q^2-1) +2pq}{p(q^2-1)-2q} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

これが2となるので
\begin{eqnarray} \frac{(q^2-1) +2pq}{p(q^2-1)-2q} &=& 2 \\[5pt] (q^2-1) +2pq &=& 2p(q^2-1)-4q \\[5pt] 2pq-2p(q^2-1) &=& -4q-(q^2-1) \\[5pt] p(2q-2q^2+2) &=& -4q-q^2+1 \\[5pt] p &=& \frac{-4q-q^2+1}{2q-2q^2+2} \\[5pt] &=& \frac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)} \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。 $q\geqq 2$ より、 \begin{eqnarray} q^2-q-1 &=& q(q-1)-1\\ &\geqq& 2\cdot1-1\\ &\gt& 0 \end{eqnarray}なので、 \begin{eqnarray} \frac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)} \geqq 1 \\[5pt] q^2+4q-1 \geqq 2(q^2-q-1) \\[5pt] 0 \geqq q^2-6q-1 \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。ここで、 $x^2-6x-1=0$ とすると\[ x=3\pm\sqrt{10} \]なので、\[ 3-\sqrt{10}\leqq q \leqq 3+\sqrt{10} \]が成り立つ。 q は自然数なので、\[ q=2,3,4,5,6 \]となる。

\[p=\frac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}\]の右辺の分母は偶数なので、分子も偶数である。よって q は奇数なので、 $q=3,5$ となる。 $q=3$ のときは\[ p=\frac{9+12-1}{2(9-3-1)} =2 \]となり条件にあう。 $q=5$ のときは\[ p=\frac{25+20-1}{2(25-5-1)}=\frac{22}{19} \]となり、条件にあわない。

以上より、求める組は $(p,q)=(2,3)$ となる。

解説

加法定理・倍角の公式を用いて p, q の条件を導くことはできるでしょう。

問題はその先です。p の1次式、 q の2次式となっているので、「$p=$」の形にして、 q が動ける範囲を絞っていくのがいいです。範囲が限定されれば、あとはしらみつぶしに調べていけば終了です。

追記)
$q=1$ のときは、 $\tan 2\beta$ が定義できないため、加法定理が使えません。その点、修正しました。(2017年2月25日18時42分)
二次方程式の解が間違っていたので修正しました。(2017年2月25日20時27分)

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