京都大学 文系 2024年度 第2問 解説

問題編

問題

　$n$ 個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を $p_n$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $p_3$ を求めよ。
(2) $p_4$ を求めよ。

考え方

立方体の各面を区別しない場合、回転して一致するかどうかを考えないといけません。なので、各面を区別して、順番に色を塗っていくようにするといいでしょう。

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解答編

問題

　$n$ 個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を $p_n$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $p_3$ を求めよ。
(2) $p_4$ を求めよ。

解答

立方体の各面に 1 ～ 6 までの数字をかく。このとき、さいころのように、向かい合う面に書いた数字の和が 7 になるようにする。

(1)
辺を共有するどの二つの面も異なる色で塗る方法を考える。

1, 2, 3 の面は、互いに辺を共有するので、この3つの面の塗り方は $3\cdot2\cdot1=6$ 通り。6 の面は 2, 3 の面と辺を共有するので、1 と同じ色で塗る必要がある。同様にして、4, 5, 6 の面の塗り方は $1$ 通りだとわかる。このとき、3色で条件を満たすように塗ることができる。

各面の塗り方は全部で $3^6$ 通りなので、\[ p_3=\frac{6}{3^6}=\frac{2}{3^5}=\frac{2}{243} \]となる。（答）

(2)
辺を共有するどの二つの面も異なる色で塗る方法を考える。4色で塗る場合、少なくとも2組の向かい合う面がそれぞれ同じ色でないといけないので、以下の3つのケースに分けることができる。

(a) 1と6、2と5が同じ色の場合
(b) 1と6が同じ色で、2と5が異なる色で、3と6が同じ色の場合
(c) 1と6が異なる色で、2と5、3と6が同じ色の場合

(a)のとき、1と6の塗り方は $4$ 通り、2と5の塗り方は $3$ 通りである。3も4も、残りの2色から好きに選べるので、 $2\cdot 2$ 通りである（3と4が同じならちょうど3色で、異なるならちょうど4色で塗ることになる）。

(b)のとき、1と6の塗り方は $4$ 通りである。2と5の色は、1・6とは異なる3色から2つ選ぶので、2と5の塗り方は $3\cdot 2$ 通りである。3と4は、残りの1色に決まるので、$1$ 通りである。

(c)のとき、対称性から(b)と同じである。

また、各面の塗り方は全部で $4^6$ 通りである。

以上から、\[ 4\cdot3\cdot2\cdot2+4\cdot3\cdot2\cdot1\times 2=4\cdot3\cdot 8 \]通りなので、\[ p_4=\frac{4\cdot3\cdot 8}{4^6}=\frac{3}{2^7}=\frac{3}{128} \]となる。（答）