京都大学 文系 2024年度 第1問 解説
問題編
問題
四面体 $\mathrm{OABC}$ が次を満たすとする。
\begin{eqnarray} & & \mathrm{OA=OB=OC}=1 \\[5pt] & & \mathrm{\angle COA=\angle COB=\angle ACB} \\[5pt] & & \mathrm{\angle AOB}=90^{\circ} \\[5pt] \end{eqnarray} このとき、四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積を求めよ。
考え方
$\triangle\mathrm{OAB}$ の面積はすぐにわかるので、あとは高さがわかればいいです。 $\mathrm{C}$ に関する情報がわかればよく、与えられた条件を扱いやすい形に言い換えて考えましょう。
解答編
問題
四面体 $\mathrm{OABC}$ が次を満たすとする。
\begin{eqnarray} & & \mathrm{OA=OB=OC}=1 \\[5pt] & & \mathrm{\angle COA=\angle COB=\angle ACB} \\[5pt] & & \mathrm{\angle AOB}=90^{\circ} \\[5pt] \end{eqnarray} このとき、四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積を求めよ。
解答
$\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$ と $\mathrm{OA=OB=OC}=1$ より、 $\mathrm{O}(0,0,0)$, $\mathrm{A}(1,0,0)$, $\mathrm{B}(0,1,0)$, $\mathrm{C}(x,y,z)$ とできる。なお、 $x^2+y^2+z^2=1$ である。また、対称性から、 $z\gt 0$ としてよい。
$\mathrm{\angle COA=\angle COB}$ と $\mathrm{OA=OB=OC}=1$ より、\[ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}||\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\cos\angle\mathrm{COA}=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}||\overrightarrow{\mathrm{OB}}|\cos\angle\mathrm{COB} \]が成り立つ。これより、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}} &=& \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \\[5pt]
x &=& y
\end{eqnarray}が成り立つ。よって、 $\mathrm{C}(x,x,z)$ と書けて、 $x^2+x^2+z^2=1$ が成り立つ。
$\mathrm{OA=OC}=1$ より、上の計算から、 $\cos\angle\mathrm{COA}=x$ がわかる。これより、 $\cos\angle\mathrm{ACB}=x$ なので
\begin{eqnarray}
\cos\angle\mathrm{ACB} &=& \frac{ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} }{ |\overrightarrow{\mathrm{CA}}| |\overrightarrow{\mathrm{CB}}| } \\[5pt]
x &=& \frac{ (1-x,-x,-z) \cdot (-x,1-x,-z) }{ (1-x)^2+x^2+z^2 } \\[5pt]
x &=& \frac{ 2x(x-1)+z^2 }{ 2x^2-2x+1+z^2 } \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つ。これに、 $x^2+x^2+z^2=1$ を代入すると、
\begin{eqnarray}
x &=& \frac{ 2x^2-2x+(1-2x^2) }{ 2x^2-2x+1+(1-2x^2) } \\[5pt]
x &=& \frac{ -2x+1 }{ -2x+2 } \\[5pt]
(2x-2)x &=& 2x-1 \\[5pt]
2x^2-4x+1 &=& 0 \\[5pt]
x &=& \frac{2\pm\sqrt{2}}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。 $\mathrm{OC}=1$ より $x\leqq 1$ だから、\[ x=\frac{2-\sqrt{2}}{2} \]である。
これを $x^2+x^2+z^2=1$ に代入すると
\begin{eqnarray}
2\cdot\frac{4-4\sqrt{2}+2}{4}+z^2 &=& 1 \\[5pt]
3-2\sqrt{2}+z^2 &=& 1 \\[5pt]
z^2 &=& 2\sqrt{2}-2 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。 $z\gt 0$ より、\[ z=\sqrt{2\sqrt{2}-2} \]である。
よって、四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積は、
\begin{eqnarray}
& &
\frac{1}{2}\cdot \mathrm{OA \cdot OB}\cdot\frac{1}{3}\cdot z \\[5pt]
&=&
\frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{6}
\end{eqnarray}である。 …（答）
