京都大学 文系 2020年度 第4問 解説

問題編

問題

　$k$ を正の実数とする。座標空間において、原点 O を中心とする半径 $1$ の球面上の4点 A, B, C, D が次の関係式を満たしている。
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OB } } =\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OD } } =\frac{1}{2}, \\[5pt] & & \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OC } } =\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OC } } =-\frac{\sqrt{6} }{4}, \\[5pt] & & \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OD } } =\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OD } } =k \\[5pt] \end{eqnarray} このとき、 $k$ の値を求めよ。ただし、座標空間の点 X, Y に対して、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OX } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OY } }$ は、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OX } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ OY } }$ の内積を表す。

考え方

この問題は、理系第3問と同じ問題なので、理系のページをご覧ください。