京都大学 文系 2020年度 第2問 解説
問題編
問題
$x$ の2次関数で、そのグラフが $y=x^2$ のグラフと2点で直交するようなものをすべて求めよ。ただし、2つの関数のグラフがある点で直交するとは、その点が2つのグラフの共有点であり、かつ接線どうしが直交することをいう。
考え方
条件をどのように表すかで計算量が大きく変わってきます。2つの「直交する」条件をうまく使って、計算を簡単にするといいでしょう。
解答編
問題
$x$ の2次関数で、そのグラフが $y=x^2$ のグラフと2点で直交するようなものをすべて求めよ。ただし、2つの関数のグラフがある点で直交するとは、その点が2つのグラフの共有点であり、かつ接線どうしが直交することをいう。
解答
$y=ax^2+bx+c$ のグラフが $y=x^2$ のグラフと直交するとする（ $a\ne 0$ ）。このとき、2つのグラフの共有点の $x$ 座標を $\alpha$, $\beta$ とおく（ $\alpha\ne\beta$ ）。 $\alpha,\beta$ は\[ ax^2+bx+c=x^2 \]の異なる2つの実数解なので、 $a\ne 1$ であり、 $b^2-4(a-1)c\gt 0$ が成り立つ。
2つの共有点での接線の傾きは、 $y=x^2$ は $2\alpha$, $2\beta$ であり、 $y=ax^2+bx+c$ の方は $2a\alpha+b$, $2a\beta+b$ である。グラフが直交することは、次の2つの式が成り立つことと同値である。
\begin{eqnarray}
2\alpha(2a\alpha+b) &=& -1 \\[5pt]
2\beta (2a\beta +b) &=& -1 \\[5pt]
\end{eqnarray}よって、グラフが直交するとき、 $\alpha$, $\beta$ は\[ 2x(2ax+b)=-1 \]の異なる2つの実数解でもあることがわかる。この式を変形すると
\begin{eqnarray}
4ax^2 +2bx +1 &=& 0 \\[5pt]
x^2 +\frac{b}{2a}x +\frac{1}{4a} &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
以上より、グラフが直交するとき、 $x^2+\dfrac{b}{a-1}x+\dfrac{c}{a-1}$ も $x^2 +\dfrac{b}{2a}x +\dfrac{1}{4a}$ も $(x-\alpha)(x-\beta)$ と表せるから、この2つの式は恒等的に等しい。よって、係数が等しいので、 $\dfrac{b}{a-1}=\dfrac{b}{2a}$ かつ $\dfrac{c}{a-1}=\dfrac{1}{4a}$ が成り立つ。
これらのことから、グラフが直交することは、
\begin{eqnarray}
& & a\ne 0,1
\quad(1)\\[5pt]
& & b^2-4(a-1)c\gt 0
\quad(2)\\[5pt]
& & \dfrac{b}{a-1}=\dfrac{b}{2a}
\quad(3)\\[5pt]
& & \dfrac{c}{a-1}=\dfrac{1}{4a}
\quad(4)\\[5pt]
\end{eqnarray}
がすべて成り立つことと同値である。
まず、(4) より、 $c=\dfrac{a-1}{4a}$ である。(3)は
\begin{eqnarray}
2ab &=& b(a-1) \\[5pt]
(a+1)b &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}と変形できるので、 $a=-1$ または $b=0$ である。
(i) $a=-1$ のとき
$a=-1$ とすると、(1)を満たす。(4)より、 $c=\dfrac{1}{2}$ である。また、(2)の左辺は $b^2+4$ なのでつねに成り立つ。よって、 $b$ はなんでもよい。
(ii) $b=0$ のとき
(4)より $c=\dfrac{a-1}{4a}$ である。(2)の左辺は $-\dfrac{(a-1)^2}{a}$ なので、これが正となることは $a$ が負であることと同値である。このとき、(1)も満たす。
以上より、グラフが $y=x^2$ のグラフと直交するような2次関数は
$y=-x^2+bx+\dfrac{1}{2}$ ( $b$ は任意の実数)
または
$y=ax^2+\dfrac{a-1}{4a}$ ( $a$ は任意の負の実数)
となる。
（終）
