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京都大学 文系 2020年度 第3問 解説

問題編

問題

 $a$ を奇数とし、整数 $m,n$ に対して、\[ f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8 \]とおく。 $f(m,n)$ が16で割り切れるような整数の組 $(m,n)$ が存在するための $a$ の条件を求めよ。

考え方

「16で割り切れる」とあるので、偶奇で分けていくのだろうと予想できます。面倒ですが、少しずつ分解して考えていきましょう。いきなり「8で割った余りで分類」などというのは、場合分けが大変すぎます。


解答編

問題

 $a$ を奇数とし、整数 $m,n$ に対して、\[ f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8 \]とおく。 $f(m,n)$ が16で割り切れるような整数の組 $(m,n)$ が存在するための $a$ の条件を求めよ。

解答

$f(m,n)=(m+1)n^2 +am^2+8$ が16で割り切れる場合を考える。

$m$ が奇数のとき、 $(m+1)n^2$ は偶数で、 $am^2$ は奇数だから $f(m,n)$ が16で割り切れることはない。なので、割り切れるとしたら、 $m$ は偶数である。このとき、 $(m+1)n^2$ も偶数である必要があるため、 $n$ も偶数である。

以上から、 $m=2s$, $n=2t$ の場合を考える( $s,t$ は整数)。このとき、
\begin{eqnarray} f(m,n) &=& (2s+1)(2t)^2+a(2s)^2+8 \\[5pt] &=& 4\{ (2s+1)t^2 +as^2 +2 \}\\[5pt] \end{eqnarray}となる。ここで、 $g(s,t)=(2s+1)t^2 +as^2 +2$ とおくと、 $f(m,n)$ が16で割り切れることと $g(s,t)$ が4で割り切れることは同値となる。

以下では、 $g(s,t)$ が4で割り切れる場合を考える。 $t$ が偶数とすると、 $as^2$ も偶数であるため $s$ も偶数となる。しかし、 $t^2$, $s^2$ は4の倍数となってしまうので、 $g(s,t)$ が4の倍数にならない。よって、 $t$ は奇数である。このとき、 $as^2$ は奇数でないといけないので、 $s$ も奇数である。

以上から、 $s=2u+1$, $t=2v+1$ と書ける( $u, v$ は整数)。このとき、 $g(s,t)$ は
\begin{eqnarray} g(s,t) &=& (2s+1)t^2 +as^2 +2 \\[5pt] &=& \{ 2(2u+1)+1 \} (2v+1)^2 +a(2u+1)^2 +2 \\[5pt] &=& (4u+3) (4v^2+4v+1) +a(4u^2+4u+1) +2 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。これを $4$ で割った余りは、 $3+a+2$ を $4$ で割った余りに等しい。これより、 $a$ は $4$ で割った余りが $3$ である必要があり、逆にこの条件を満たすと、計算を逆にたどっていけば、 $f(m,n)$ が16で割り切れることがわかる。

実際、 $a=4b+3$ ($b$ は整数)とし、 $m=n=2$ とすると
\begin{eqnarray} f(2,2) &=& 2\cdot 2^2+(4b+3)2^2+2^2+8 \\[5pt] &=& 8+16b+12+4+8 \\[5pt] &=& 16b+32 \\[5pt] \end{eqnarray}となり、16で割り切れる。

以上から、求める条件は、「 $a$ を $4$ で割ったときに $3$ 余ること」となる。

(終)

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