京都大学 文系 2020年度 第3問 解説
問題編
問題
$a$ を奇数とし、整数 $m,n$ に対して、\[ f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8 \]とおく。 $f(m,n)$ が16で割り切れるような整数の組 $(m,n)$ が存在するための $a$ の条件を求めよ。
考え方
「16で割り切れる」とあるので、偶奇で分けていくのだろうと予想できます。面倒ですが、少しずつ分解して考えていきましょう。いきなり「8で割った余りで分類」などというのは、場合分けが大変すぎます。
解答編
問題
$a$ を奇数とし、整数 $m,n$ に対して、\[ f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8 \]とおく。 $f(m,n)$ が16で割り切れるような整数の組 $(m,n)$ が存在するための $a$ の条件を求めよ。
解答
$f(m,n)=(m+1)n^2 +am^2+8$ が16で割り切れる場合を考える。
$m$ が奇数のとき、 $(m+1)n^2$ は偶数で、 $am^2$ は奇数だから $f(m,n)$ が16で割り切れることはない。なので、割り切れるとしたら、 $m$ は偶数である。このとき、 $(m+1)n^2$ も偶数である必要があるため、 $n$ も偶数である。
以上から、 $m=2s$, $n=2t$ の場合を考える（ $s,t$ は整数）。このとき、
\begin{eqnarray}
f(m,n)
&=&
(2s+1)(2t)^2+a(2s)^2+8 \\[5pt]
&=&
4\{ (2s+1)t^2 +as^2 +2 \}\\[5pt]
\end{eqnarray}となる。ここで、 $g(s,t)=(2s+1)t^2 +as^2 +2$ とおくと、 $f(m,n)$ が16で割り切れることと $g(s,t)$ が4で割り切れることは同値となる。
以下では、 $g(s,t)$ が4で割り切れる場合を考える。 $t$ が偶数とすると、 $as^2$ も偶数であるため $s$ も偶数となる。しかし、 $t^2$, $s^2$ は4の倍数となってしまうので、 $g(s,t)$ が4の倍数にならない。よって、 $t$ は奇数である。このとき、 $as^2$ は奇数でないといけないので、 $s$ も奇数である。
以上から、 $s=2u+1$, $t=2v+1$ と書ける（ $u, v$ は整数）。このとき、 $g(s,t)$ は
\begin{eqnarray}
g(s,t)
&=&
(2s+1)t^2 +as^2 +2 \\[5pt]
&=&
\{ 2(2u+1)+1 \} (2v+1)^2 +a(2u+1)^2 +2 \\[5pt]
&=&
(4u+3) (4v^2+4v+1) +a(4u^2+4u+1) +2 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。これを $4$ で割った余りは、 $3+a+2$ を $4$ で割った余りに等しい。これより、 $a$ は $4$ で割った余りが $3$ である必要があり、逆にこの条件を満たすと、計算を逆にたどっていけば、 $f(m,n)$ が16で割り切れることがわかる。
実際、 $a=4b+3$ ($b$ は整数)とし、 $m=n=2$ とすると
\begin{eqnarray}
f(2,2)
&=&
2\cdot 2^2+(4b+3)2^2+2^2+8 \\[5pt]
&=&
8+16b+12+4+8 \\[5pt]
&=&
16b+32 \\[5pt]
\end{eqnarray}となり、16で割り切れる。
以上から、求める条件は、「 $a$ を $4$ で割ったときに $3$ 余ること」となる。
（終）