京都大学 文系 2018年度 第5問 解説

問題編

問題

 整数が書かれている球がいくつか入っている袋に対して、次の一連の操作を考える。ただし各球に書かれている整数は1つのみとする。

(i) 袋から無作為に球を1個取り出し、その球に書かれている整数を k とする。

(ii) $k\ne 0$ の場合、整数 k が書かれた球を1個新たに用意し、取り出した球とともに袋に戻す。

(iii) $k=0$ の場合、袋の中にあった球に書かれていた数の最大値より1大きい整数が書かれた球を1個新たに用意し、取り出した球とともに袋に戻す。

 整数 $0$ が書かれている球が1個入っており他の球が入っていない袋を用意する。この袋に上の一連の操作を繰り返し n 回行った後に、袋の中にある球に書かれている $n+1$ 個の数の合計を $X_n$ とする。例えば $X_1$ は常に $1$ である。以下 $n\geqq 2$ として次の問に答えよ。

(1) $X_n\geqq \dfrac{(n+2)(n-1)}{2}$ である確率を求めよ。

(2) $X_n\leqq n+1$ である確率を求めよ。

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考え方

$X_n$ がどのような値をとるのかわかりづらいですが、 $X_n$ が一番小さくなる時を考えてみると、状況は把握しやすいでしょう。(2)の式と見比べると、考えるべき状況は、すごく少ないということがわかります。そうすると、(1)は $X_n$ が最大になるときを考えればいいのではないか、と予想できます。

ただ、(2)は少し確率を求めるのが難しいです。それぞれの操作で、 $0$ の球や $1$ の球が何個あるかを考えるようにしましょう。