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京都大学 文系 2015年度 第5問 解説

問題編

問題

 $a,b,c,d,e$ を正の有理数として整式
\begin{eqnarray} f(x) &=& ax^2+bx+c \\ g(x) &=& dx+e \end{eqnarray}を考える。すべての正の整数 $n$ に対して $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ は整数であるとする。このとき、$f(x)$ は $g(x)$ で割り切れることを示せ。

考え方

抽象的で手の付けづらい問題です。ちなみに、理系第5問の易しいバージョンです。

2次式を1次式で割るので、余りは定数です。割り切れることを示すということは、この定数が 0 になることを示すということです。今の場合、余りは\[ c-\dfrac{e}{d}b-\dfrac{e^2}{d^2}a \]と具体的に書くことはできます。しかし、ここから先に進むことができません。条件から、 $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ は整数ですが、その値については何もわからないので、 $a,b,c$ と $d,e$ の間の関係式は出てきません。

ですので、別の道を考えてみます。割り算の問題でよくあるのは、商と余りを使って次のように書く方法です。
\begin{eqnarray} f(x) &=& (px+q) g(x) + r \end{eqnarray} $f$ と $g$ の各係数が有理数なので、 $p,q,r$ も有理数になります。さて、ここで $r=0$ が言えないかを考えてみます。条件にある $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ が出てくるように $g(x)$ で両辺を割ると
\begin{eqnarray} \frac{f(x)}{g(x)} &=& px+q + \frac{r}{dx+e} \end{eqnarray}となります。条件から、$x$ にどんな正の整数を入れても、この式は整数になります。

ここで注目したいのが、 $\dfrac{r}{dx+e}$ の部分です。$x$ にとても大きな整数を入れていくと、これは 0 に近づいていきます。上の式で $p$ の分母、$q$ の分母を両辺にかけると、最後の項以外が整数であることは明らかです。$x$ に大きな整数を入れると最後の項の絶対値を 1 より小さくすることができるので、0 になることが言えます。これで、 $r=0$ が言えそうです。ここまでのことをまとめましょう。


解答編

問題

 $a,b,c,d,e$ を正の有理数として整式
\begin{eqnarray} f(x) &=& ax^2+bx+c \\ g(x) &=& dx+e \end{eqnarray}を考える。すべての正の整数 $n$ に対して $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ は整数であるとする。このとき、$f(x)$ は $g(x)$ で割り切れることを示せ。

解答

$f(x)=(px+q) g(x)+r$と書ける。 $f$ と $g$ の各係数が有理数なので、 $p,q,r$ も有理数となる。 $n$ を正の整数とすると、
\begin{eqnarray} \frac{f(n)}{g(n)} &=& pn+q + \frac{r}{dn+e} \end{eqnarray}となる。条件より、これは整数である。

$p,q$ は有理数なので、それぞれ $\dfrac{p_2}{p_1}$, $\dfrac{q_2}{q_1}$ とかける。ここで、 $p_1$, $p_2$, $q_1$, $q_2$ は整数であり、$p_1$ と $q_1$ は 0 ではないとする。

上の式の両辺に $p_1q_1$ をかけると、
\begin{eqnarray} \frac{f(n)p_1q_1}{g(n)} -p_2q_1n -p_1q_2 &=& \frac{rp_1q_1}{dn+e} \end{eqnarray}となる。このとき、左辺は整数だから、右辺も整数である。

$n\to\infty$ としたとき、右辺は 0 に収束する。よって、$\left| \dfrac{rp_1q_1}{dN+e} \right | \lt 1$ となる整数 N が存在する。しかし、この不等式の左辺は整数なので、0 であることがわかる。$p_1$ も $q_1$ も 0 ではないので、$r=0$ 。よって、 $f(x)$ は $g(x)$ で割り切れる。

(解答終)

解説

$\dfrac{rp_1q_1}{dn+e}$ はいくらでも 0 に近づける整数だから 0 しかありえない、というのがこの解答のポイントになっています。

なお、 $r=0$ なので、 $n$ に $p$ の分母を入れれば $q$ が整数であることがわかります。さらにこのことから $p$ も整数であることがわかります。

ちなみに、理系第5問では、係数が有理数ではなく実数の場合が出題されています。さらに解きにくくなっています。

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