京都大学 文系 2015年度 第5問 解説

問題編

問題

 $a,b,c,d,e$ を正の有理数として整式
\begin{eqnarray}
f(x) &=& ax^2+bx+c \\
g(x) &=& dx+e
\end{eqnarray}を考える。すべての正の整数 $n$ に対して $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ は整数であるとする。このとき、$f(x)$ は $g(x)$ で割り切れることを示せ。

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考え方

抽象的で手の付けづらい問題です。ちなみに、理系第5問の易しいバージョンです。

2次式を1次式で割るので、余りは定数です。割り切れることを示すということは、この定数が 0 になることを示すということです。今の場合、余りは\[ c-\dfrac{e}{d}b-\dfrac{e^2}{d^2}a \]と具体的に書くことはできます。しかし、ここから先に進むことができません。条件から、 $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ は整数ですが、その値については何もわからないので、 $a,b,c$ と $d,e$ の間の関係式は出てきません。

ですので、別の道を考えてみます。割り算の問題でよくあるのは、商と余りを使って次のように書く方法です。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& (px+q) g(x) + r
\end{eqnarray}
$f$ と $g$ の各係数が有理数なので、 $p,q,r$ も有理数になります。さて、ここで $r=0$ が言えないかを考えてみます。条件にある $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ が出てくるように $g(x)$ で両辺を割ると
\begin{eqnarray}
\frac{f(x)}{g(x)} &=& px+q + \frac{r}{dx+e}
\end{eqnarray}となります。条件から、$x$ にどんな正の整数を入れても、この式は整数になります。

ここで注目したいのが、 $\dfrac{r}{dx+e}$ の部分です。$x$ にとても大きな整数を入れていくと、これは 0 に近づいていきます。上の式で $p$ の分母、$q$ の分母を両辺にかけると、最後の項以外が整数であることは明らかです。$x$ に大きな整数を入れると最後の項の絶対値を 1 より小さくすることができるので、0 になることが言えます。これで、 $r=0$ が言えそうです。ここまでのことをまとめましょう。