京都大学 文系 2015年度 第4問 解説

問題編

【問題】
$xyz$空間の中で、$(0,0,1)$を中心とする半径1の球面$S$を考える。点Qが$(0,0,2)$以外のS上の点を動くとき、点Qと点$\mathrm{ P }(1,0,2)$の2点を通る直線lと平面$z=0$との交点をRとおく。Rの動く範囲を求め、図示せよ。

【広告】
ハイレベルな基礎の徹底の上に、本物の数学力が育つ。東大受験指導の名門・鉄緑会大阪校で実際に行われている「数学の基礎固め」。東大・京大・難関国立大学を目指す受験生のための、強固な数学の基礎力がつく一書。
著者:鉄緑会大阪校数学科
出版社:KADOKAWA
発売日:2015-11-28
ページ数:337 ページ
値段:¥2,200
(2021年09月 時点の情報です)

【考え方】
この問題は、出発の仕方が難しいです。点Qに対して点Rがどう決まるかを考え、そのあとで点Qを動かす、というような感じで解きたくなりますが、その方法ではなかなか解けません。点Qの動く範囲が球面なので、最後の「点Qを動かす」の部分で計算が行き詰ってしまいます。

なので、発想を変え、点Rに着目して次のように考えます。2点PRを通る直線が球面と共有点を持つように点Rを動かす、と。この発想ができないとこの問題を解くのは難しいです。

1 2