🏠 Home / 大学入試 / 京都大学 / 京大文系

京都大学 文系 2015年度 第1問 解説

問題編

【問題】
 直線$y=px+q$が、$y=x^2-x$のグラフとは交わるが、$y=|x|+|x-1|+1$のグラフとは交わらないような$(p,q)$の範囲を図示し、その面積を求めよ。

【考え方】
「交わる」は、判別式が0以上となる範囲を考えればいいですね。「交わらない」の方は少しめんどうです。グラフを描いてみて、交わらない条件を考えていきます。

範囲が求まれば、面積を求めるのは大変ではありません。


解答編

【問題】
 直線$y=px+q$が、$y=x^2-x$のグラフとは交わるが、$y=|x|+|x-1|+1$のグラフとは交わらないような$(p,q)$の範囲を図示し、その面積を求めよ。

【解答】
$y=px+q$と$y=x^2-x$とのグラフが交わるとき、$x^2-x=px+q$は実数解をもつ。つまり、判別式が0以上なので、
\begin{eqnarray} (-1-p)^2-4(-q) &\geqq& 0 \\ q &\geqq& - \frac{1}{4} (p+1)^2 \ \ \cdots (1) \end{eqnarray}となる。

$y=|x|+|x-1|+1$は、$x$の値によって次のように変形できる。
\begin{eqnarray} y = \left\{ \begin{array}{1} 2x \ & &(x\geqq 1) \\ 2 \ & &(1 \gt x\gt 0) \\ -2x+2 \ & &( 0 \geqq x) \end{array} \right. \end{eqnarray} よって、グラフは次のようになる。

$f(x)=px+q$、$g(x)=|x|+|x-1|+1$ とする。

$p\gt 2$とすると、$x\geqq1$で$y=2x$と交わらないためには、$f(1)\gt 2$である必要があるが、このとき$y=f(x)$と$y=g(x)$は$x\lt1$で交わってしまう。

また、$p\lt -2$とすると、$x\leqq 0$で$y=-2x+2$と交わらないためには、$f(0)\gt 2$である必要があるが、このとき$y=f(x)$と$y=g(x)$は$x\gt 0$で交わってしまう。

よって、2つのグラフが交わらないためには、$-2\leqq p \leqq 2$が必要である。

$0\leqq p \leqq 2$のとき、2つのグラフが交わらないためには、$g(1)\lt 2$が必要であり、これを満たせば交わることはない。このときの条件は、「$0\leqq p \leqq 2$ かつ $q\lt -p+2$」と書ける。この条件を(2)と書く。

$-2\leqq p \lt 0$のとき、2つのグラフが交わらないためには、$g(0)\lt 2$が必要であり、これを満たせば交わることはない。このときの条件は、「$-2\leqq p \lt 0$ かつ $q\lt 2$」と書ける。この条件を(3)と書く。

以上から、$(p,q)$の範囲は、(1)(2)(3)すべてに含まれる領域なので、以下の通りとなる。

ただし、境界は$q=-p+2,q=2$上の点以外をすべて含む。

また、この領域の面積は、
\begin{eqnarray} & & \int _{-2}^2 \left\{ 2+\frac{1}{4}(p+1)^2 \right\}dp - \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 \\[5pt] &=& \left[ 2p + \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}(p+1)^3 \right]_{-2}^2 - 2 \\[5pt] &=& \left( 4 + \frac{1}{12}\cdot 27 + 4 +\frac{1}{12}\cdot 1 \right) - 2 \\[5pt] &=& \frac{25}{3} \end{eqnarray} となる。

【解答終】

【解説】
「交わらない」の条件を漏れなく考えるのが少し大変です。傾きが2より大きい場合、-2より小さい場合、その間の場合など、さまざまな場合で交わらない条件を考えないといけないので、漏れなく条件を書き出すのは少し難しいです。

関連するページ

YouTubeもやってます