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センター試験 数学II・数学B 2016年度 第4問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

問題編

問題

 四面体OABC において、$\lvert\overrightarrow{ \mathrm{OA} }\rvert=3$、$|\overrightarrow{ \mathrm{OB} }|=|\overrightarrow{ \mathrm{OC} }|=2$、$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=60^{\circ}$ であるとする。また、辺OA上に点P をとり、辺BC上に点Q をとる。以下、$\overrightarrow{ \mathrm{OA} }=\vec{ a }$、$\overrightarrow{ \mathrm{OB} }=\vec{ b }$、$\overrightarrow{ \mathrm{OC} }=\vec{ c }$ とおく。

(1) $0 \leqq s \leqq 1$、$0 \leqq t \leqq 1$ であるような実数s、t を用いて、$\overrightarrow{ \mathrm{OP} }=s\vec{a}$、$\overrightarrow{ \mathrm{OQ} }=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$ と表す。$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{c}=\myBox{ア}$、$\vec{b}\cdot\vec{c}=\myBox{イ}$であることから\[ |\overrightarrow{\mathrm{PQ} }|^2 =
\Big(\myBox{ウ}s-\myBox{エ}\Big)^2+\Big(\myBox{オ}t-\myBox{カ}\Big)^2+\myBox{キ} \]となる。したがって、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ} }|$ が最小となるのは、$s=\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$、$t=\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$のときであり、このとき $|\overrightarrow{\mathrm{PQ} }|=\sqrt{\myBox{シ}}$ となる。

(2) 三角形ABC の重心を G とする。$|\overrightarrow{ \mathrm{PQ} }|=\sqrt{\mybox{シ}}$のとき、三角形GPQ の面積を求めよう。

 $\overrightarrow{ \mathrm{OA} } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } = \myBox{ス}$ から、$\angle\mathrm{APQ}=\myBox{セソ}^{\circ}$ である。したがって、三角形APQ の面積は$\sqrt{\myBox{タ}}$である。また\[ \overrightarrow{ \mathrm{OG} } = \frac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}}\overrightarrow{ \mathrm{OA} } + \frac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}\overrightarrow{ \mathrm{OQ} } \]であり、点G は線分AQ を $\myBox{ナ}:1$ に内分する点である。

 以上のことから、三角形GPQ の面積は $\dfrac{\sqrt{\myBox{ニ}}}{\myBox{ヌ}}$ である。

考え方

空間におけるベクトルです。3次元だと図をかくのが大変ですが、(1)は特に図をかかなくても解けます。計算はごちゃごちゃしやすいですが、難しくはありません。誘導に従って解けば、最後まで行けるでしょう。

(2)はさすがに図をかかないと厳しいです。ベクトルの式から、PQ がどういう点であるかを把握することが重要です。最後の三角形の面積を求めるところは、辺の長さの比で出すことができます。

空間ベクトルにしては解きやすい問題です。


解答編

問題

 四面体OABC において、$\lvert\overrightarrow{ \mathrm{OA} }\rvert=3$、$|\overrightarrow{ \mathrm{OB} }|=|\overrightarrow{ \mathrm{OC} }|=2$、$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=60^{\circ}$ であるとする。また、辺OA上に点P をとり、辺BC上に点Q をとる。以下、$\overrightarrow{ \mathrm{OA} }=\vec{ a }$、$\overrightarrow{ \mathrm{OB} }=\vec{ b }$、$\overrightarrow{ \mathrm{OC} }=\vec{ c }$ とおく。

(1) $0 \leqq s \leqq 1$、$0 \leqq t \leqq 1$ であるような実数s、t を用いて、$\overrightarrow{ \mathrm{OP} }=s\vec{a}$、$\overrightarrow{ \mathrm{OQ} }=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$ と表す。$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{c}=\myBox{ア}$、$\vec{b}\cdot\vec{c}=\myBox{イ}$であることから\[ |\overrightarrow{\mathrm{PQ} }|^2 =
\Big(\myBox{ウ}s-\myBox{エ}\Big)^2+\Big(\myBox{オ}t-\myBox{カ}\Big)^2+\myBox{キ} \]となる。したがって、$|\overrightarrow{\mathrm{PQ} }|$ が最小となるのは、$s=\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$、$t=\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$のときであり、このとき $|\overrightarrow{\mathrm{PQ} }|=\sqrt{\myBox{シ}}$ となる。

解説

\begin{eqnarray} \vec{ a } \cdot \vec{ b } &=& |\vec{ a }| |\vec{ b }| \cos \angle \mathrm{AOB} \\ &=& 3\cdot 2\cdot \frac{1}{2} =3 \end{eqnarray}となります。$\vec{ a } \cdot \vec{ c }$ も同様です。 \begin{eqnarray} \vec{ b } \cdot \vec{ c } &=& |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \angle \mathrm{BOC} \\ &=& 2\cdot 2\cdot \frac{1}{2} =2 \end{eqnarray}と計算できます。

よって、
\begin{eqnarray} |\overrightarrow{ \mathrm{PQ} }|^2 &=& |-s\vec{a}+(1-t)\vec{b}+t\vec{c}|^2 \\[5pt] &=& s^2|\vec{a}|^2 +(1-t)^2|\vec{b}|^2 +t^2|\vec{c}|^2 \\ & & -2s(1-t)\vec{ a } \cdot \vec{ b } +2t(1-t)\vec{ b } \cdot \vec{ c } -2st\vec{ c } \cdot \vec{ a } \\[5pt] &=& 9s^2 +4(1-t)^2 +4t^2 \\ & & -6s(1-t) +4t(1-t) -6st \\[5pt] &=& 9s^2 +4t^2-8t+4 +4t^2 \\ & & -6s+6st +4t -4t^2 -6st \\[5pt] &=& 9s^2-6s +4t^2-4t +4 \\ &=& (3s-1)^2 +(2t-1)^2 +2 \\ \end{eqnarray}と計算できます。

この式から、$|\overrightarrow{ \mathrm{PQ} }|$ が最小となるのは、$s=\dfrac{1}{3}$、$t=\dfrac{1}{2}$ のときで、その時の値は、$\sqrt{2}$ となることがわかります。

解答

ア:3
イ:2
ウエオカキ:31212
クケコサシ:13122

解答編 つづき

問題

(2) 三角形ABC の重心を G とする。$|\overrightarrow{ \mathrm{PQ} }|=\sqrt{\mybox{シ}}$のとき、三角形GPQ の面積を求めよう。

 $\overrightarrow{ \mathrm{OA} } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } = \myBox{ス}$ から、$\angle\mathrm{APQ}=\myBox{セソ}^{\circ}$ である。したがって、三角形APQ の面積は$\sqrt{\myBox{タ}}$である。

解説

図の概形は次のようになります。

$\overrightarrow{ \mathrm{PQ} }=-s\vec{a}+(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$ であり、(1)の最後で求めた通り、$s=\dfrac{1}{3}$、$t=\dfrac{1}{2}$ です。よって、
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{OA} } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } &=& \vec{a} \cdot \left( -\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c} \right) \\ &=& -\frac{1}{3} \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 3 = 0 \\ \end{eqnarray}となります。

このことから、OAPQは垂直であることがわかるので、$\angle \mathrm{APQ}=90^{\circ}$となります。

$\mathrm{OA}=3$ より、$\mathrm{OP}=\dfrac{1}{3}\mathrm{OA}=1$ だから、$\mathrm{AP}=2$ です。また、(1)の結果より、PQ の長さは $\sqrt{2}$ です。よって、直角三角形APQ の面積は、\[ \frac{1}{2}\times 2 \times \sqrt{2}=\sqrt{2} \]となります。

解答

ス:0
セソ:90
タ:2

解答編

問題

また\[ \overrightarrow{ \mathrm{OG} } = \frac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}}\overrightarrow{ \mathrm{OA} } + \frac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}\overrightarrow{ \mathrm{OQ} } \]であり、点G は線分AQ を $\myBox{ナ}:1$ に内分する点である。

 以上のことから、三角形GPQ の面積は $\dfrac{\sqrt{\myBox{ニ}}}{\myBox{ヌ}}$ である。

解説

$t=\dfrac{1}{2}$ なので、QBC の中点です。また、G は三角形ABC の重心だから、
$\overrightarrow{ \mathrm{OG} } = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{ \mathrm{OA} } + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{ \mathrm{OQ} }$ であり、GAQ2:1 に内分する点です。

以上のことから、三角形GPQ の面積は、三角形APQ の $\dfrac{1}{3}$ 倍となるので、$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ となります。

解答

チツテトナ:13232
ニヌ:23

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